Points de Napoléon

En géométrie, les points de Napoléon sont deux points remarquables du triangle plan. Leur nom vient de l'empereur Napoléon Bonaparte, qui les aurait découverts bien que ceci puisse être remis en question^[1]. Ils font partie des éléments remarquables d'un triangle et sont listés aux numéros X(17) et X(18) par Clark Kimberling.

Définition

Premier point de Napoléon

Soit ABC un triangle plan. On construit à partir des côtés BC, CA, AB, les triangles équilatéraux extérieurs A"BC, B"CA et C"AB respectivement. On note les centres de gravité de ces triangles A', B' et C' respectivement. Alors A'A, B'B et C'C sont concourantes au point noté K, qui est le premier point de Napoléon, ou point de Napoléon extérieur, du triangle ABC.

Le triangle A'B'C' est appelé le triangle de Napoléon extérieur du triangle ABC. Le théorème de Napoléon permet d'affirmer que ce triangle est équilatéral. Le nombre de Kimberling du premier point de Napoléon est X(17)^[2].

les coordonnées trilinéaires de K :

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}

les coordonnées barycentriques de K sont :

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Second point de Napoléon

Soit ABC un triangle plan. On construit à partir des côtés BC, CA, AB, les triangles équilatéraux intérieurs A"BC, B"CA et C"AB respectivement. On note les centres de gravité de ces triangles A', B' et C' respectivement. Alors A'A, B'B et C'C sont concourantes au point noté K, qui est le second point de Napoléon, ou point de Napoléon intérieur, du triangle ABC.

Le triangle A'B'C' est appelé le triangle de Napoléon intérieur du triangle ABC. Le théorème de Napoléon permet d'affirmer que ce triangle est équilatéral. Le nombre de Kimberling du second point de Napoléon est X(18)^[2].

les coordonnées trilinéaires de K sont :

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}

les coordonnées barycentriques de K sont :

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Relations avec d'autres éléments remarquables

On peut rapprocher les points de Napoléon des points de Fermat-Torricelli (X(13) et X(14)). En effet, si au lieu de construire les lignes rejoignant les sommets du triangle aux centres de gravité des triangles équilatéraux extérieurs, on construit les lignes rejoignant les sommets du triangle aux sommets extérieurs de ces triangles équilatéraux, ces trois lignes sont concourantes et ces points d'intersection sont les points de Fermat-Torricelli. L'intersection de la droite de Fermat (qui passe par les deux points de Fermat-Torricelli) et la ligne de Napoléon (qui passe par les deux points de Napoléon) est le point symédian du triangle (de nombre de Kimberling X(6)). Les deux points de Napoléon sont sur l'hyperbole de Kiepert.

Voir aussi

Problème de Lemoine

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Napoleon points » (voir la liste des auteurs).

↑ H. S. M. Coxeter et S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, 1967, 61–64 p. (lire en ligne), p. 63
↑ ^{a et b} Clark Kimberling, « Encyclopedia of Triangle Centers » (consulté le 2 mai 2012)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Napoleon Points », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[Coexeter-1] H. S. M. Coxeter et S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, 1967, 61–64 p. (lire en ligne), p. 63

[ETC-2] {a et b} Clark Kimberling, « Encyclopedia of Triangle Centers » (consulté le 2 mai 2012)

[1]

[2]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron