Suite de Recamán

Les 65 premiers termes de la séquence de Recamán sont visualisés avec des cercles,

La suite de Recamán, nommée d'après le mathématicien colombien Bernardo Recamán Santos (es), est une suite d'entiers naturels.

Définition

La suite est définie par la récurrence suivante :

• $a_{0}=0$
• pour tout entier $n>0$
  • si $a_{n-1}\geq n$ et si $a_{n-1}-n$ n'apparaît pas déjà dans la suite, alors $a_{n}=a_{n-1}-n$
  • sinon, $a_{n}=a_{n-1}+n$.

Les premiers termes de la suite sont $0,1,3,6,2,7,13,20,12,21$ (suite A005132 de l'OEIS).

La suite complète commence par deux 0 au lieu d'un. En effet, par différence, on obtient 0, 1, 2, 3, -4, 5, ... . Mais, si c'est validé, cela demande de changer tout ce qui en découle^{[réf. nécessaire]}, c'est-à-dire, aujourd'hui 15 mai 2023, 213 suites.

La suite qui résulte de A161680(n) - (0, A005132(n)) = 0, 0, 0, 0, 0, 8, 8, 8, 8, 24, 24, ... = b(n) est multiple de 2.

On considère la suite (0, A005132) à laquelle on ajoute indéfiniment (0, A160356). On obtient le tableau carré

0, 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, ...

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, ...

0, 2, 5, 9, -2, 12, 19, 27, ...

0, 3, 7, 12, -6, 17, 25, 34, ...

0, 4, 9, 15, -10, 22, 31, 41, ...

0, 5, 11, 18, -14, 27, 37, 48, ...

0, 6, 13, 21, -18, 32, 43, 55, ...

0, 7, 15, 24, -22, 37, 49, 62, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est 0, 0, 2, 8, 20, 24, 38, ... = (0, 2*A065056).

Inversement, on obtient

0, 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, ...

0, -1, -1, 0, 10, -3, 1, 6, ...

0, -2, -3, -3, 14, -8, -5, -1, ...

0, -3, -5, -6, 18, -13, -11, -8, ...

0, -4, -7, -9, 22, -18, -17, -15, ...

0, -5, -9, -12, 26, -23, -23, -22, ...

0, -7, -11, -15, 30, -28, -29, -29, ...

0, -8, -13, -18, 34, -33, -35, -36, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... = A000004.

Précisément: 0, 0+0, 1-1, 3-3, 6-6, 12-12, 21-21, 32-32, 48-48, 66-66, 90-90, 120-120, ... . Les termes nuls ou positifs forment une suite inconnue.

Maintenant, on part de (0, -A005132). Les lignes suivantes s'obtiennent par addition de (0, 2*A160356).

0, 0, -1, -3, -6, -2, -7, -13, ...

0, 2, 3, 3, -14, 8, 5, 1, ...

0, 4, 7, 9, -22, 18, 17, 15, ...

0, 6, 11, 15, -30, 28, 29, 29, ...

0, 8, 15, 21, -38, 38, 41, 43, ...

0, 10, 19, 27, -46, 48, 53, 57, ...

0, 12, 23, 33, -54, 58, 65, 71, ...

0, 14, 27, 39, -62, 68, 77, 85, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est (0, A065056).

Inversement

0, 0, -1, -3, -6, -2, -7, -13, ...

0, -2, -5, -9, 2, -12, -19, -27, ...

0, -4, -9, -15, 10, -22, -31, -41, ...

0, -6, -13, -21, 18, -32, -43, -55, ...

0, -8, -17, -27, 26, -42, -55, -69, ...

0, -10, -21, -33, 34, -52, -67, -83, ...

0, -12, -25, -39, 42, -62, -79 , -97, ...

0, -14, -29, -45, 50, -72, -91, -111, ...

...

La somme des termes antidiagonaux est (0, -3*A065056).

Calcul des termes successifs

On « soustrait si l'on peut et on additionne si l'on doit ».

• $a_{0}=0$
• $a_{1}=1$ car $0+1=1$ ($a_{0}<1$)
• $a_{2}=3$ car $1+2=3$ ($a_{1}<2$)
• $a_{3}=6$ car $3+3=6$ ($3-3$ figure déjà dans la suite)
• $a_{4}=2$ car $6-4=2$ ($a_{3}>=4$ et $a_{3}-4$ ne figure pas encore dans la suite)
• $a_{5}=7$ car $2+5=7$ ($a_{4}<5$)
• etc.
• Autosuite (en anglais autosequence) de première espèce correspondante:
• 0, 0, 0, 1, 2, 6, 13, 29, 60, ...
• 0, 0, 1, 1, 4, 7, 16, 31, 54, ...
• 0, 1, 0, 3, 3, 9, 15, 23, 33, ...
• 1, -1, 3, 0, 6, 6, 8, 10, 19, ...
• -2, 4, -3, 6, 0, 2, 2, 9, 16, ...
• 6, -7, 9, -6, 2, 0, 7, 7, 20, ...
• -13, 16, -15, 8, -2, 7, 0, 13, 13, ...
• 29, -31, 23, -10, 9, -7, 13, 0, 20, ...
• -60, 54, -33, 19,-16, 20, -13, 20, 0, ...

La diagonale principale est A000004. Les deux diagonales suivantes sont A005132.

La première colonne est la première ligne à signes alternés.

. Autosuite de seconde espèce:

. 0 0 2 3 10 20 45 91 168

. 0 2 1 7 10 25 46 77 120

. 2 -1 6 3 15 21 31 43 71

. -3 7 -3 12 6 10 12 28 51

. 10 -10 15 -6 4 2 16 23 56

.-20 25 -21 10 -2 14 7 33 46

. 45 -46 31 -12 16 -7 26 13 53

.-91 77 -43 28 -23 33 -13 40 20

.168-120 71 -51 56 -46 53 -20 24

Surjectivité

Neil Sloane déclare en 1991 suspecter que la suite est surjective, c'est-à-dire que tout nombre entier naturel y figure. En 2017, il indique en être moins sûr. Une recherche par ordinateur permet d'affirmer que le plus petit entier manquant dans les $10^{230}$ premiers termes est $852655$.

La suite n'est pas injective, puisque certains nombres y figurent plusieurs fois. Le premier nombre à figurer deux fois est $42$ en $a_{20}$ et $a_{24}$.

Notes et références

• (hu) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en hongrois intitulé « Recamán-sorozat » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Alex Bellos, Here's Looking at Euclid, Free Press (lire en ligne), p. 179.

Liens externes

• (en) Numberphile, « The Slightly Spooky Recamán Sequence », sur YouTube