Théorème de Pompeiu

Cas où le point P est à l'extérieur du cercle circonscrit.

Cas où le point P est sur le cercle circonscrit.

Le théorème de Pompeiu est un résultat de géométrie plane, découvert par le mathématicien roumain Dimitrie Pompeiu. Le théorème est simple, mais pas classique. Il s'énonce comme suit:

Étant donné un triangle équilatéral ABC dans le plan et un point P dans le plan du triangle ABC, les longueurs PA, PB et PC forment les côtés d'un triangle (éventuellement dégénéré).

Preuve du théorème de Pompéi avec le triangle de Pompéi $\triangle PCP'$

La preuve est simple. On considère une rotation de 60° autour du point B , de sorte que A se projette sur C ; P est alors sur un point P '. Alors ${\textstyle PB\ =\ P'B}$, et ${\textstyle \angle PBP'\ =\ 60^{\circ }}$. D'où le triangle PBP ' est équilatéral et ${\textstyle PP'\ =\ PB}$. Alors ${\textstyle PA\ =\ P'C}$. Ainsi, le triangle PCP ' a des côtés égaux à PA, PB et PC et la preuve par construction est complète (voir dessin).

Des investigations plus approfondies montrent que si P n'est pas à l'intérieur du triangle, mais plutôt sur le cercle circonscrit, alors PA, PB, PC forment un triangle dégénéré, le plus grand étant égal à la somme des autres, cette observation est également connue sous le nom de théorème de Van Schooten.

Généralement, par le point P et les longueurs aux sommets du triangle équilatéral — PA, PB et PC deux triangles équilatéraux (le plus grand et le plus petit) de côtés $a_{1}$ et $a_{2}$ sont définis tels que :

$a_{1,2}^{2}={\frac {1}{2}}\left(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\pm 4{\sqrt {3}}\triangle _{(PA,PB,PC)}\right)$

Le symbole △ désigne l'aire du triangle dont les côtés ont des longueurs PA, PB, PC.

Pompéi a publié le théorème en 1936, mais August Ferdinand Möbius avait déjà publié un théorème plus général sur quatre points du plan euclidien en 1852. Dans cet article, Möbius a également dérivé explicitement l'énoncé du théorème de Pompéi comme un cas particulier de son théorème plus général. Pour cette raison, le théorème est également connu sous le nom de théorème de Möbius-Pompeiu.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Pompeiu's Theorem », sur MathWorld
• (en) Théorème de Pompéi sur cut-the-knot.org

Voir aussi

• Inégalité de Ptolémée

Remarques

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pompeiu's theorem » (voir la liste des auteurs).