Cálculo diferencial

O cálculo diferencial é unha parte da análise matemática que consiste no estudo de como cambian as funcións cando cambian as súas variables. O principal obxecto de estudo no cálculo diferencial é a derivada. Unha noción estreitamente relacionada é a de diferenza

O estudo do cambio dunha función é de especial interese para o cálculo diferencial, en concreto o caso no que o cambio das variables é infinitesimal, isto é, cando devandito cambio tende a cero (faise tan pequeno como se desexe). E é que o cálculo diferencial se apoia constantemente no concepto básico do límite. O paso ao límite é a principal ferramenta que permite desenvolver a teoría do cálculo diferencial e o que a diferencia claramente da álxebra.

Dende o punto de vista matemático das funcións e a xeometría, a derivada dunha función nun certo punto é unha medida da taxa na cal unha función cambia segundo un argumento se modifica. Isto é, unha derivada involucra, en termos matemáticos, unha taxa de cambio. Unha derivada é o cálculo das pendentes instantáneas de $f(x)$ en cada punto $x$. Isto corresponde ás pendentes das tanxentes da gráfica de devandita función nos seus puntos (unha tanxente por punto); as derivadas poden ser utilizadas para coñecer a concavidade dunha función, os seus intervalos de crecemento, os seus máximos e mínimos.

A inversa dunha derivada chámase primitiva, antiderivada ou integral indefinida.

Diferenciación e diferenciabilidade

Unha función dunha variable é diferenciable nun punto x se existe a súa derivada nese punto; unha función é diferenciable nun intervalo se o é en cada punto x pertencente ao intervalo. Se unha función non é continua en c, entón non pode ser diferenciable en c; con todo, aínda que unha función sexa continua en c, pode non ser diferenciable. É dicir, toda función diferenciable nun punto c é continua en c, pero non toda función continua en c é diferenciable en c (como f(x) = |x| é continua, pero non diferenciable en x = 0).

Noción de derivada

Recta secante entre os puntos f(x+h) e f(x).

As derivadas defínense tomando o límite da pendente das rectas secantes segundo se van aproximando á recta tanxente. É difícil calcular directamente a pendente da recta tanxente dunha función porque só se coñece un punto desta, o punto onde ten que ser tanxente á función. Por iso, aproxímase a recta tangente por rectas secantes. Cando se tome o límite das pendentes das secantes próximas, obterase a pendente da recta tanxente.

Para obter estas pendentes, tómase un número arbitrariamente pequeno que se denominará h. h representa unha pequena variación en x, e pode ser tanto positivo como negativo. A pendente da recta entre os puntos $\scriptstyle (x,f(x))\,$ e $\scriptstyle (x+h,f(x+h))\,$ é

$f(x+h)-f(x) \over h$

Esta expresión é un cociente diferencial de Newton. A derivada de f en x é o límite do valor do cociente diferencial conforme as liñas secantes se achegan máis á tanxente:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

Se a derivada de f existe en cada punto x, é posible entón definir a derivada de f como a función que ten como valor no punto x a derivada de f en x.

Posto que a inmediata substitución de h por 0 dá como resultado unha división por cero, calcular a derivada directamente pode ser pouco intuitivo. Unha técnica consiste en simplificar o numerador de modo que a h do denominador poida cancelarse. Isto resulta moi sinxelo con funcións polinómicas, pero para a maioría das funcións resulta demasiado complicado. Porén, hai regras xerais que facilitan a diferenciación da maioría das funcións descritas anteriormente.

O cociente diferencial alternativo

A derivada de f(x) (tal como a definiu Newton) describiuse como o límite, segundo h se aproxima a cero. Unha explicación alternativa da derivada pode interpretarse a partir do cociente de Newton. Se se emprega a fórmula anterior, a derivada en c é igual ao límite segundo h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Se se considera que h = x - c (polo tanto, c + h = x), entón x aproxímase a c (segundo h tende a cero). Así, a derivada é igual ao límite conforme x aproxímase a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición utilízase para unha demostración parcial da regra da cadea.

Funcións de varias variables

Para funcións de varias variables $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, as condicións de diferenciabilidade son máis estritas e requiren máis condicións á parte da existencia de derivadas parciais. En concreto, requírese a existencia dunha aproximación linear á función na veciñanza dun punto. Dada unha base vectorial, esta aproximación linear vén dada pola matriz jacobiana:

$\lim _{\|\mathbf {h} \|\to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} (\mathbf {x_{0}} )\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}=\mathbf {0}$

Historia

Os problemas comúns que deron orixe ao cálculo infinitesimal comezaron a exporse na época clásica da antiga Grecia (século III a.C.), con conceptos de tipo xeométrico como o problema da tanxente a unha curva de Apolonio de Perge, pero non se atoparon métodos sistemáticos de resolución até o século XVII, grazas aos traballos de Isaac Newton e de Gottfried Wilhelm Leibniz.

Eles dous sintetizaron dous conceptos e métodos usados polos seus predecesores no que hoxe se denomina «diferenciación» e «integración». Desenvolveron regras para manipular as derivadas (regras de derivación) e demostraron que ambos os conceptos eran inversos (teorema fundamental do cálculo).

Desde o século XVII, moitos matemáticos contribuíron ao cálculo diferencial. No século XIX, o cálculo tomou un estilo máis rigoroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), e Karl Weierstrass (1815–1897). Foi tamén durante este período cando o cálculo diferencial xeneralizouse ao espazo euclidiano e ao plano complexo.

Aplicacións importantes do cálculo diferencial

Recta tanxente a unha función nun punto

A recta tanxente a unha función f(x) é como se viu o límite das rectas secantes cando un dos puntos de corte da secante coa función se fai tender cara ao outro punto de corte. Tamén pode definirse a recta tanxente como a mellor aproximación linear á función no seu punto de tanxencia, isto é, a recta tanxente é a función polinómica de primeiro grao que mellor aproxima a función localmente no punto de tanxencia considerado.

Se se coñece a ecuación da recta tanxente T_a(x) á función f(x) no punto a pode tomarse T_a(x) como unha aproximación razoablemente boa de f(x) nas proximidades do punto a. Isto quere dicir que, se se toma un punto a+h e se avalía tanto na función como na recta tanxente, a diferenza $f(a+h)-T(a+h)$ será desprezable fronte a h en valor absoluto se h tende a cero. Canto máis preto se estea do punto a tanto máis precisa será a aproximación de f(x).

Para unha función f(x) derivable localmente no punto a, a recta tanxente a f(x) polo punto a é:

T_a(x)= f(a) + f '(a)(x-a).

Uso das derivadas para realizar gráficos de funcións

As derivadas son unha ferramenta útil para examinar as gráficas de funcións. En particular, os puntos no interior dun dominio dunha función de valores reais que levan a devandita función a un extremo local terán unha primeira derivada de cero. Con todo, non todos os puntos críticos son extremos locais. Por exemplo, f(x)=x³ ten un punto crítico en x=0, pero nese punto non hai un máximo nin un mínimo. O criterio da primeira derivada e o criterio da segunda derivada permiten determinar se os puntos críticos son máximos, mínimos ou ningún deles.

No caso de dominios multidimensionais, a función terá unha derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión nun extremo local. Neste caso, a proba da segunda derivada pódese seguir empregando para caracterizar os puntos críticos, considerando o autovalor da matriz hessiana das segundas derivadas parciais da función no punto crítico. Se todos os autovalores son positivos, entón o punto é un mínimo local; se todos son negativos, entón é un máximo local. Se hai algúns autovalores positivos e algúns negativos, entón o punto crítico é un punto de sela, e se non se cumpre ningún destes casos, a proba é non concluínte (é dicir, os autovalores son 0 e 3).

Unha vez que se atopan os extremos locais, é moito máis fácil facerse unha idea da gráfica xeral da función, xa que (no caso do dominio monodimensional) se incrementará ou diminuirá uniformemente agás nos puntos críticos, e por iso (supondo a súa continuidade) terá valores intermedios entre os valores nos puntos críticos de cada lado.

Aproximación local de Taylor

É posible entón aproximar mediante a súa recta tanxente unha función derivable localmente nun punto. Se se cumpre que a fución é suficientemente suave no punto ou dominio de estudo (isto é, a función é de clase $\scriptstyle C^{n}$), entón pódese aproximar a función non por polinomios de grao un, senón por polinomios de grao dous, tres, catro e sucesivamente. Esta aproximación recibe o nome de desenvolvemento polinómico de Taylor e defínese da seguinte maneira:

$P(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots +{\frac {f^{n}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

onde P(x) é o polinomio de grao n que mellor aproxima a función no punto x=a. Cómpre notar que, se se avalía P(x) en x=a, todos os termos agás f(a) se anulan; logo, P(a) = f(a). Nótese tamén que a ecuación da recta tanxente do apartado anterior corresponde ao caso no que n=1.

Cando a = 0, o desenvolvemento denomínase desenvolvemento de MacLaurin, que é o que se emprega a maioría das veces na práctica. Exemplos de desenvolvementos importantes de MacLaurin son:

$e^{x}\approx 1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots$

$\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\ln(1+x)\approx x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

O símbolo $\approx$ denota aproximación, non igualdade. Se a función que se quere aproximar é infinitamente derivable ($\scriptstyle C^{\infty }$) e se agregan infinitos termos ao desenvolvemento, entón $\approx$ convértese en $=$ e o desenvolvemento anterior convértese nunha serie de Taylor. As funcións que son iguais á súa serie de Taylor denomínanse funcións analíticas.

Cálculo de puntos

Puntos singulares

Denomínanse puntos singulares ou puntos estacionarios os valores da variable nos que se anula a derivada f'(x) dunha función f(x), é dicir, se f´(x)=0 en x₁, x₂, x₃, . . ., x_n. Entón, x₁, x₂, x₃, . . ., x_n son puntos singulares de f(x).

Os valores f(x₁), f(x₂), f(x₃), . . ., f(x_n), chámanse valores singulares.

Puntos críticos

Por punto crítico enténdese: un punto singular, un punto onde non exista a derivada ou un punto extremo a ou b do dominio [a,b] de definición da función.

Se a segunda derivada é positiva nun punto crítico, dise que o punto é un mínimo local; se é negativa, dise que o punto é un máximo local; se vale cero, pode ser tanto un mínimo como un máximo ou un punto de inflexión. Derivar e resolver nos puntos críticos adoita ser unha forma simple de atopar máximos e mínimos locais, que poden empregarse en optimización. No entanto, nunca hai que desprezar os extremos en devanditos problemas.

Xeneralización do cálculo diferencial

Cando unha función depende de máis dunha variable, utilízase o concepto de derivada parcial. As derivadas parciais pódense pensar informalmente como tomar a derivada dunha función con respecto a unha delas, mantendo as demais variables constantes. As derivadas parciais represéntanse como:

O concepto de derivada pode estenderse de forma máis xeral. O fío común é que a derivada nun punto serve como unha aproximación linear á función en devandito punto. Quizais a situación máis natural é que as funcións sexan diferenciables nas variedades. A derivada nun certo punto entón convértese nunha transformación linear entre os correspondentes espazos tanxentes, e a derivada da función convértese nun mapeo entre os grupos tanxentes.

Véxase tamén

Bibliografía

• Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3.ª edición) por Bruce H Edwards, Robert P. Hostetler e Ron Larson (2003).
• Calculus (2.ª edición) por Michael Spivak.
• Calculus Early Trascendentals (6.ª edición) por James Stewart.
• Principios de Análise Matemática por Enrique Linés Escardo.