משוואה ממעלה שנייה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה אחרונה מ־15:51, 26 בינואר 2023

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה $\ y=ax^{2}+bx+c$ עם הישר $\ y=0$ .

לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

הפתרונות למשוואה הריבועית $ax^{2}+bx+c=0$ הם $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ .

את הפתרון מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב- $\ 4a$ והוספת הדיסקרימיננט $\!\,\Delta =b^{2}-4ac$ לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה $\!\,(2ax+b)^{2}=\Delta$ . לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ . אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה $x_{1,2}={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {\Delta }}}}$ , המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. בחישוב נומרי אפשר לפתור את המשוואה באמצעות שיטת מולר.

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.

משפט ויאטה

מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית $\ ax^{2}+bx+c=0$

ושורשיה הם $\ x_{1},x_{2}$ , הרי מתקיים הקשר הבא:

$\ x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

$\ x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.

משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.

בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.

התנאים	שוני סימן	שווי סימן	שניהם חיוביים	שניהם שליליים
	$\ {\frac {c}{a}}<0$ ^[1]	$\ \Delta >0$ $\ c/a>0$	$\ \Delta >0$ $\ c/a>0$ $\ -b/a>0$	$\ \Delta >0$ $\ c/a>0$ $\ -b/a<0$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משוואה ממעלה שנייה בוויקישיתוף

גדי אלכסנדרוביץ', אז איך פותרים משוואה ריבועית?, באתר "לא מדויק", 26 בינואר 2008
משוואה ריבועית(הקישור אינו פעיל), באתר "g-math"
סרטון המדגים כיצד להגיע לנוסחת השורשים
מחשבון לפתרון משוואה ריבועית
משוואה ממעלה שנייה, באתר MathWorld (באנגלית)
משוואה ממעלה שנייה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
למה משוואה ריבועית?, סרטון באתר יוטיוב
שיר הפרבולה, בביצוע דביר רוס, וידאו קליפ של השיר באתר יוטיוב, כולל הדרכה איך לפתור משוואה ריבועית במחשבון.

הערות שוליים

^ אין צורך בתנאי $\ \Delta >0$ כי הוא נובע מהתנאי $\ c/a<0$

[1] אין צורך בתנאי $\ \Delta >0$ כי הוא נובע מהתנאי $\ c/a<0$

[1]

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 ==נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית==
-הפתרונות למשוואה הריבועית <math>\!\, ax^2+bx+c=0</math> , הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
+הפתרונות למשוואה הריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
-את הפתרון מקבלים על ידי '''[[השלמה לריבוע]]''': כפל ב-<math>\ 4a</math> והוספת ה[[דיסקרימיננטה]] <math> \!\, \Delta=b^2-4ac</math> לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה <math>\!\, (2ax+b)^2=\Delta</math>. לאחר [[הוצאת שורש ריבועי]] מתקבלים הפתרונות <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>.
+את הפתרון מקבלים על ידי [[השלמה לריבוע]]: כפל ב-<math>\ 4a</math> והוספת ה[[דיסקרימיננטה|דיסקרימיננט]] <math> \!\, \Delta=b^2-4ac</math> לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה <math>\!\, (2ax+b)^2=\Delta</math>. לאחר [[הוצאת שורש ריבועי]] מתקבלים הפתרונות <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה  <math>x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}</math>, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. ב[[חישוב נומרי]] אפשר לפתור את המשוואה באמצעות [[שיטת מולר]].
-לעתים (בעיקר בתוכנות מחשב), משתמשים בנוסחה מקבילה: <math>x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}</math>, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד.
 כאשר מקדמי המשוואה הם [[מספר ממשי|ממשיים]], מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל [[סדר של קוטב|כפול]]), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון  ממשי, אבל יש פתרונות [[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]].
@@ שורה 43: / שורה 42: @@
 ==קישורים חיצוניים==
+{{ויקישיתוף בשורה}}
-* {{לא מדויק|110|אז איך פותרים משוואה ריבועית?}}
-* [http://g-math.co.il/kvachim/algebra/mishvaa_ribuit/mishvaa-ribuit-mat1/index.html משוואה ריבועית], באתר "g-math"
+* גדי אלכסנדרוביץ', [https://gadial.net/2008/01/26/solving_quadratic_equations/ אז איך פותרים משוואה ריבועית?], באתר "לא מדויק", 26 בינואר 2008
+* [http://g-math.co.il/kvachim/algebra/mishvaa_ribuit/mishvaa-ribuit-mat1/index.html משוואה ריבועית]{{קישור שבור}}, באתר "g-math"
 * [http://youtu.be/WDXw3J8sF8s סרטון המדגים כיצד להגיע לנוסחת השורשים]
 * [http://www.freewebs.com/trigo/quadratic.html מחשבון לפתרון משוואה ריבועית]
+* {{MathWorld}}
+* {{בריטניקה}}
+* {{יוטיוב|7RMefNjjtU8|שם=למה משוואה ריבועית?}}
+*{{יוטיוב|b_O30YvPg58|דביר רוס|שם=שיר הפרבולה|קליפ=כן}}, כולל הדרכה איך לפתור משוואה ריבועית במחשבון.
 ==הערות שוליים==
 {{הערות שוליים}}
+{{משוואות פולינומיות}}
+{{בקרת זהויות}}
 [[קטגוריה:אלגברה בסיסית]]
 [[קטגוריה:משוואות פולינומיות]]

פולינום
משוואות פולינומיות לפי מעלה	משוואה ליניארית (1) • משוואה ממעלה שנייה (2) • משוואה ממעלה שלישית (3) • משוואה ממעלה רביעית (4) • משוואה ממעלה חמישית (5) • משוואה ממעלה שישית (6) • משוואה ממעלה שביעית (7)
פונקציות פולינומיות לפי מעלה	פונקציה ממעלה שלישית
אישים הקשורים במציאת פתרונות או הוכחת אי פתירות	לודוביקו פרארי • מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי • אברהם בר חייא • שיפיונה דל פרו • ניקולו טרטליה • ג'ירולמו קרדאנו • נילס הנריק אבל • אווריסט גלואה • פאולו רופיני • פליקס קליין • ולדימיר ארנולד
כללי	היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות • משפט אבל-רופיני • תורת גלואה • הבעיה השלוש-עשרה של הילברט • פתרון באמצעות רדיקלים • רדיקל ברינג • i (מספר)