משוואה ממעלה שנייה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־14:28, 8 ביוני 2018

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה $\ y=ax^{2}+bx+c$ עם הישר $\ y=0$ .

לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

הפתרונות למשוואה הריבועית $ax^{2}+bx+c=0$ הם $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ .

את הפתרון מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב- $\ 4a$ והוספת הדיסקרימיננטה $\!\,\Delta =b^{2}-4ac$ לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה $\!\,(2ax+b)^{2}=\Delta$ . לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ . אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה $x_{1,2}={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {\Delta }}}}$ , המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. בחישוב נומרי אפשר לפתור את המשוואה באמצעות שיטת מולר (אנ').

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.

משפט ויאטה

מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית $\ ax^{2}+bx+c=0$

ושורשיה הם $\ x_{1},x_{2}$ , הרי מתקיים הקשר הבא:

$\ x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

$\ x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.

משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.

בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.

התנאים	שוני סימן	שווי סימן	שניהם חיוביים	שניהם שליליים
	$\ {\frac {c}{a}}<0$ ^[1]	$\ \Delta >0$ $\ c/a>0$	$\ \Delta >0$ $\ c/a>0$ $\ -b/a>0$	$\ \Delta >0$ $\ c/a>0$ $\ -b/a<0$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משוואה ממעלה שנייה בוויקישיתוף

גדי אלכסנדרוביץ', אז איך פותרים משוואה ריבועית?, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי
משוואה ריבועית, באתר "g-math"
סרטון המדגים כיצד להגיע לנוסחת השורשים
מחשבון לפתרון משוואה ריבועית

הערות שוליים

^ אין צורך בתנאי $\ \Delta >0$ כי הוא נובע מהתנאי $\ c/a<0$

[1] אין צורך בתנאי $\ \Delta >0$ כי הוא נובע מהתנאי $\ c/a<0$

[1]

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 ==נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית==
-הפתרונות למשוואה הריבועית <math>\!\, ax^2+bx+c=0</math> הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
+הפתרונות למשוואה הריבועית <math>ax^2+bx+c=0</math> הם <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
 את הפתרון מקבלים על ידי '''[[השלמה לריבוע]]''': כפל ב-<math>\ 4a</math> והוספת ה[[דיסקרימיננטה]] <math> \!\, \Delta=b^2-4ac</math> לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה <math>\!\, (2ax+b)^2=\Delta</math>. לאחר [[הוצאת שורש ריבועי]] מתקבלים הפתרונות <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה  <math>x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}</math>, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד. ב[[חישוב נומרי]] אפשר לפתור את המשוואה באמצעות [[שיטת מולר]] {{אנ|Muller's method}}.