משוואה ממעלה שנייה

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה $\ y=ax^{2}+bx+c$ עם הישר $\ y=0$ .

לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית

הפתרונות למשוואה הריבועית $\!\,ax^{2}+bx+c=0$ הם $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ .

את הפתרון מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב- $\ 4a$ והוספת הדיסקרימיננטה $\!\,\Delta =b^{2}-4ac$ לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה $\!\,(2ax+b)^{2}=\Delta$ . לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ . לעיתים (בעיקר בתוכנות מחשב), משתמשים בנוסחה מקבילה: $x_{1,2}={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {\Delta }}}}$ , המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד.

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.

משפט ויאטה

מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית $\ ax^{2}+bx+c=0$