אינטגרל דיריכלה

במתמטיקה, ישנם מספר אינטגרלים הנקראים אינטגרל דיריכלה, על שם המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, ואחד מהם הוא האינטגרל הלא אמיתי של פונקציית sinc על הישר הממשי החיובי:

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.

האינטגרל הזה אינו מתכנס בהחלט, מה שאומר ש- ${\Biggl |}{\frac {\sin x}{x}}{\Biggl |}$ אינה אינטגרבילית לפי לבג, כך שאינטגרל דיריכלה אינו מוגדר במובן של אינטגרציית לבג. עם זאת, הוא יכול להיות מוגדר כאינטגרל רימן לא אמיתי. אף על פי שהפונקציה הקדומה של פונקציית ה-sinc אינה פונקציה אלמנטרית, ערך האינטגרל (במובן של רימן) יכול להיות מחושב במגוון דרכים, ביניהן שימוש בהתמרת לפלס, גזירה תחת סימן האינטגרל, ואנליזה מרוכבת.

אינטגרל דיריכלה חושב לראשונה לראשונה על ידי לאונרד אוילר^[1] במאמר שעסק בחישוב ערכים של אינטגרלים לא אמיתיים מסוימים. הוא מופיע במגוון תחומים, במיוחד בתורה של טורי פורייה, במסגרתה הוא הופיע בהוכחה של דיריכלה (1829) להתכנסות נקודתית של טורי פורייה. מאוחר יותר דיריכלה עשה בו שימוש גם בהצדקה למשפט הגבול המרכזי שתיאר בהרצאותיו מ-1846.

חישוב האינטגרל

גזירה תחת סימן האינטגרל (טריק פיינמן)

תחילה נרשום את האינטגרל כפונקציה של משתנה נוסף $s$ , פונקציה שהיא למעשה התמרת לפלס של ${\frac {\sin t}{t}}$ . הפונקציה המתקבלת היא

f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.

כדי לחשב את אינטגרל דיריכלה, יש בעצם לקבוע את הערך של $f(0)$ . הרציפות של $f$ ניתנת להצדקה בעזרת משפט ההתכנסות הנשלטת לאחר אינטגרציה בחלקים. גזירה לפי המשתנה הנוסף $s>0$ והפעלת כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (שיטת פיינמן) מניבה:

${\begin{aligned}{\frac {df}{ds}}&={\frac {d}{ds}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial s}}e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt.\end{aligned}}$

כעת, בעזרת נוסחת אוילר $e^{it}=\cos t+i\sin t,$ ניתן לרשום את פונקציית הסינוס כסכום של שני אקספוננטים מרוכבים, $\sin t={\frac {1}{2i}}\left(e^{it}-e^{-it}\right).$

לפיכך, ${\begin{aligned}{\frac {df}{ds}}&=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin t\,dt=-\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {e^{it}-e^{-it}}{2i}}dt\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-t(s-i)}-e^{-t(s+i)}\right]dt\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[{\frac {-1}{s-i}}e^{-t(s-i)}-{\frac {-1}{s+i}}e^{-t(s+i)}\right]_{0}^{\infty }\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\left({\frac {-1}{s-i}}+{\frac {1}{s+i}}\right)\right]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{s-i}}-{\frac {1}{s+i}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {s+i-(s-i)}{s^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{s^{2}+1}}.\end{aligned}}$

האינטגרל המקורי (אינטגרל דיריכלה) ניתן לחישוב כעת בעזרת אינטגרציה של הביטוי האחרון ביחס למשתנה $s$ בתוספת קבוע אינטגרציה שיש לקבוע אותו. לפיכך, אינטגרציה לפי $s$ נותנת:

$f(s)=\int {\frac {-ds}{s^{2}+1}}=A-\arctan s,$

כאשר $A$ הוא קבוע האינטגרציה שיש לקבוע. מכיוון ש- $\lim _{s\to \infty }f(s)=0$ מקבלים שערך הקבוע הוא $A=\lim _{s\to \infty }\arctan s={\frac {\pi }{2}}$ . זה אומר שבעבור $s>0$ מתקיים $f(s)={\frac {\pi }{2}}-\arctan s$ .