אלגברת לייבניץ

במתמטיקה, אלגברת לייבניץ היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המהווה הכללה של אלגברת לי. מרחב וקטורי L עם פעולת כפל הוא אלגברת לייבניץ שמאלית אם כל פעולת כפל משמאל $\ell _{x}{\,:\,}L\rightarrow L$ היא נגזרת (אלגברה); ואלגברת לייבניץ ימנית אם כל פעולת כפל מימין היא נגזרת. כל אלגברת לי היא אלגברת לייבניץ שמאלית וימנית (זוהי זהות יעקובי). אלגברת לייבניץ שמאלית או ימנית היא אלגברת לי אם פעולת הכפל שלה היא אנטי-סימטרית.

תהי L אלגברת לייבניץ שמאלית. המרחב הנפרש על ידי ריבועים הוא גרעין לייבניץ, $\operatorname {Leib} (L)$. הגרעין שווה לאפס אם ורק אם האלגברה היא אלגברת לי. גרעין לייבניץ הוא תמיד אידיאל דו-צדדי. המנה מעל אידיאל זה היא המנה המקסימלית של L שהיא אלגברת לי.

אידיאל הוא פתיר אם העלאתו בריבוע מסתיימת באפס. האידיאל הפתיר המקסימלי הוא הרדיקל של האלגברה. גרעין לייבניץ מוכל ברדיקל. האלגברה פשוטה למחצה אם הרדיקל שווה לגרעין לייבניץ. בממד סופי ומעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0, אפשר לפרק כל אלגברת לייבניץ כסכום ישר $L=L/\operatorname {rad} (L)\oplus \operatorname {rad} (L)$.

ההעתקה השולחת כל איבר a לפעולת הכפל משמאל ב-a היא שיכון $L/Z^{\ell }(L)\hookrightarrow \operatorname {Der} (L)$, כאשר $Z^{\ell }(L)=\{a\in L:aL=0\}$ הוא המרכז השמאלי, ו-$\operatorname {Der} (L)$ היא אלגברת לי של הנגזרות.

אם L אלגברת לי ו-M מודול שמאלי מעליה, אז האלגברה $L\ltimes M$ שהפעולה בה מוגדרת לפי $(x,a)(y,b)=([x,y],xb)$ היא אלגברת לייבניץ שמאלית, הנקראת מכפלה ישרה-לרביע (hemi-semidirect product) של L ו-M.