חבורת לי

בגאומטריה דיפרנציאלית ובאלגברה, חבורת לי היא יריעה חלקה עם מבנה של חבורה, כך שפעולות החבורה הן פונקציות חלקות ביחס למבנה הדיפרנציאלי. חבורות לי הן אובייקטים גאומטריים ואלגבריים בו-זמנית.

חבורות לי קרויות על שם המתמטיקאי הנורווגי סופוס לי והוגדרו על ידיו לראשונה בשנת 1870. לחבורות לי חשיבות רבה באנליזה מתמטית, בפיזיקה ובגאומטריה.

הגדרה פורמלית

חבורת לי היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של יריעות חלקות, כלומר - בהינתן יריעה חלקה שהיא גם חבורה G, נאמר ש-G היא חבורת לי אם פעולות הכפל וההופכי של החבורה הן פונקציות חלקות.

אלגברת לי של חבורת לי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

ערך מורחב – אלגברת לי

אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=T_{e}G$ . סוגר הלי מתקבל על ידי דיפרנציאל שני של פעולת ההצמדה

$G\times G\to G,\quad (x,y)\mapsto xyx^{-1}y^{-1}$

לכל חבורת לי מתאימה אלגברת לי יחידה אך ההפך איננו נכון. כך למשל, לאלגברת לי ${\mathfrak {so}}_{n}$ מתאימות חבורות לי $\mathrm {SO} _{n}$ , $\mathrm {O} _{n}$ ו- $\mathrm {Spin} _{n}$ . עם זאת, לכל אלגברת לי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.

את אלגבראות לי אפשר לאפיין באמצעות מערכות שורשים אותן אפשר לתאר גרפית באמצעות דיאגרמות דינקין.

כמו כן, קיימת העתקת אקספוננט (העתקה מעריכית) מאלגברת הלי לחבורת הלי. ניתן להגדיר אותה בשתי דרכים. אם משכנים את חבורת הלי בחבורת המטריצות ההפיכות, אלגברת לי משתכנת באופן טבעי באלגברת המטריצות והעתקת האקספוננט ניתנת על ידי הנוסחה הרגילה $exp(A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}$ לצורך ההגדרה המופשטת של ההעתקה, נזהה את אלגברת הלי עם אלגברת השדות הווקטוריים על G שנשמרים תחת הפעולה משמאל, כלומר $v_{g}=dg(v_{e})$ , כאשר dg מסמן את הדיפרנציאל של הפעולה של מכפלה משמאל בg. שדה זה מגדיר זרם של דיפאומורפיזמים על היריעה, ו exp(v) מוגדר להיות התמונה של e תחת הזרם הזה בזמן 1.

מיון חבורות לי

כל חבורת לי קשירה, פשוטת קשר ופשוטה למחצה, היא מכפלה של חבורות לי פשוטות. לכל חבורת לי פשוטה מתאימה אלגברת לי פשוטה ממשית. המרכוב של אלגבת לי זו היא אלגברת לי פשוטה מרוכבתהמתוארת על ידי דיאגרמת דינקין. עבור אלגבת לי מרוכבת, קל יחסית למיין את כל אלגבראות הלי הממשייות מהן אפשר לקבל אותה כמרכוב.

לכן, באמצעות מיון דיאגרמות דינקין אפשר למיין את כל החבורות לי הפשוטות. את דיאגרמות דינקין של חבורות לי פשוטות אפשר לסווג ל-4 משפחות כלליות $A_{n},\ B_{n},\ C_{n},\ D_{n}$ ועוד 5 מקרים שלא נופלים באף משפחה: $E_{6},\ E_{7},\ E_{8},\ F_{4},\ G_{2}$ . להלן דיאגרמות דינקין המתאימות:

הדיאגרמות מטיפוס $A_{n}$ מתארות משפחת החבורות היוניטריות $\mathrm {SU} (n+1)$ , את החבורת הליניאריות הכלליות $\mathrm {GL} (n+1)$ ועוד מספר משפחות.
הדיאגרמות מטיפוס $B_{n}$ מתארות משפחת החבורות $\mathrm {Spin} (2n+1)$ שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות $\mathrm {SO} (2n+1)$ ועוד מספר משפחות.
הדיאגרמות מטיפוס $C_{n}$ מתארות משפחת החבורות הסימפלקטית $\mathrm {Sp} (2n)$ ועוד מספר משפחות.
הדיאגרמות מטיפוס $D_{n}$ מתארות משפחת החבורות $\mathrm {Spin} (2n)$ שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות $\mathrm {SO} (2n)$ ועוד מספר משפחות..
החבורות שמתאימות לדיאגרמות $E_{6},\ E_{7},\ E_{8},\ F_{4},\ G_{2}$ לא נופלת באף משפחה לעיל ונקראות "חבורות לי אקספטיונאליות".

אם מתמקדים רק בחבורות לי קומפקטיות פשוטות ופשוטות קשר, אז לכל דיאגרמת דינקין מתתאימה בדיוק חבורא אחת כזאת.

דוגמאות

חבורת המעגל

דוגמה סטנדרטית לחבורת לי היא חבורת מעגל היחידה המרוכב:

$\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$

$\mathbb {T}$ היא חבורה תחת פעולת הכפל. כמו כן, היא יריעה חד־ממדית ופעולות הכפל וההופכי הן חלקות. מסיבות אלו, $\mathbb {T}$ היא חבורת לי.

ניתן להוכיח כי $\mathbb {T} \cong \operatorname {SO} (2)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ כאשר החבורה האמצעית היא החבורה הליניארית המיוחדת מממד 2 והחבורה הימנית היא חבורת המנה.

החבורה הליניארית הכללית

החבורה הליניארית הכללית $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ היא קבוצה פתוחה בתוך מרחב וקטורי ויורשת מבנה של יריעה חלקה. לפי המבנה הגזיר הזה, פעולות כפל מטריצות וההפכי שתיהן חלקות, ועל כן $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ היא חבורת לי. אלגברת לי המקושרת לחבורה זו היא ${\mathfrak {gl}}_{n}$ הבנויה מכל המטריצות מגודל $n\times n$ עם פעולת הקומוטטור.