משפט היחידות של דיריכלה

משפט היחידוֹת של דיריכלה הוא אחד מהמשפטים היסודיים בתורת המספרים האלגברית. הדוגמה הפשוטה ביותר למשפט זה היא ההבחנה שבמספרים השלמים, רק ל- $\ \pm 1$ יש הפכי ביחס לכפל, שגם הוא שלם. המשפט מראה שגם כאשר עוברים לטפל במספרים שלמים מטיפוס כללי יותר, דהיינו, שלמים אלגבריים בשדה מספרים, רק ל'מעט' מספרים ההפכי הוא שלם.

המשפט קובע כי:

• חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים של שדה מספרים היא חבורה נוצרת סופית.

מן המשפט נובע שכמו כל חבורה אבלית נוצרת סופית, אפשר להציג את החבורה המדוברת כסכום ישר של תת חבורה מפותלת, שהיא במקרה זה חבורה ציקלית המורכבת משורשי יחידה, ותת-חבורה אבלית חופשית. המשפט של דיריכלה מאפשר גם לחשב את דרגת החבורה החופשית.

דוגמאות

מספר x בתחום שלמות R נקרא איבר הפיך, אם גם המספר $\ x^{-1}$ שייך לאותו חוג. אוסף האיברים ההפיכים בתחום שלמות נתון מהווה חבורה אבלית כפלית, הנקראת חבורת ההפיכים של החוג (באנגלית: group of units, כלומר חבורת היחידות, ומכאן שם המשפט). לדוגמה, בחוג השלמים $\ \mathbb {Z}$, האיברים ההפיכים הם $\ \{1,-1\}$, ובחוג השלמים של גאוס $\ \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$, האיברים ההפיכים הם $\ \{\pm 1,\pm {\sqrt {-1}}\}$. אלו הן חבורות סופיות.

התנהגות מעט שונה רואים בחוג $\ \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$, שאבריו מהצורה $\ a+b{\sqrt {6}}$, כאשר $\ a,b$ מספרים שלמים. בחוג הזה, האיברים ההפיכים הם אלו שעבורם $\ a^{2}-6b^{2}=\pm 1$ - כלומר, הזוג $\ a,b$ פותר את המשוואה הדיופנטית הקלאסית הידועה בשם משוואת פל. הפתרון הקטן ביותר למשוואה זו הוא $\ a=5,b=2$, וכך מתברר שכל האיברים ההפיכים בחוג הם, עד כדי סימן, חזקות של $\ u=5+2{\sqrt {6}}$. חבורת ההפיכים איזומורפית ל- $\ \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z}$.

עבור כל שדה מספרים, האיברים ההפיכים בחוג השלמים הם בדיוק אלו שהנורמה שלהם היא $\ \pm 1$ (מצד אחד הכפליות של הנורמה מבטיחה שלאיבר הפיך יש נורמה הפיכה, ומצד שני הנורמה של איבר שווה למכפלת הצמודים שלו). אם בוחרים בסיס לחוג השלמים, אפשר לתרגם את התנאי הזה למשוואה במקדמים. המשוואה המתקבלת היא הכללה של משוואת פל הקשורה בתבנית הנורמה המתאימה.

הדרגה של חבורת ההפיכים

נניח ש- K הוא שדה מספרים, כלומר, הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים. כל שדה כזה אפשר לשכן, בדרכים שונות, בשדה המספרים המרוכבים. כמה מבין שיכונים אלה מסתפקים בערכים ממשיים. אם נסמן ב- r את מספרם של השיכונים הממשיים וב- 2s את מספרם של השיכונים שאינם ממשיים (שהוא תמיד זוגי), אז r+2s שווה לממד של K מעל הרציונליים.

משפט דיריכלה קובע שהדרגה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים של K שווה ל- r+s-1. לשדה $\ \mathbb {Q}$ יש רק שיכון אחד, ממשי, וחבורת ההפיכים של חוג השלמים שלו, $\ \mathbb {Z}$, היא אכן חבורה סופית, מדרגה אפס. חבורת הפיכים סופית יש גם לחוג השלמים $\ \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ של $\ \mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]$, שלו יש רק זוג שיכונים מרוכבים. לעומת זאת, לשדה $\ \mathbb {Q} [{\sqrt {6}}]$ יש שני שיכונים ממשיים, וכך דרגתה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים $\ \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$ שווה לאחד, כפי שראינו.

סקירת ההוכחה

הרעיון המרכזי בהוכחה הוא ההעתקה של החבורה הכפלית של השדה K אל המכפלה $\ V=\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s}$, לפי הנוסחה $\alpha \to \left({\log \left|{\sigma _{1}\alpha }\right|,...,\log \left|{\sigma _{r}\alpha }\right|,2\log \left|{\sigma _{r+1}\alpha }\right|,...,2\log \left|{\sigma _{r+s}\alpha }\right|}\right)$. כאן $\ \sigma _{i}$ הם השיכונים השונים של K (מסודרים כך שהשיכונים הממשיים מופיעים ראשונה). העתקה זו היא 'כמעט שיכון' - רק שורשי היחידה בשדה (שמספרם סופי) עוברים לאפס.

מתברר שכאשר מצמצמים את ההעתקה הזו לאוסף ההפיכים של חוג השלמים, מתקבל סריג, דהיינו תת-חבורה דיסקרטית של V. עובדה טופולוגית זו, הנמצאת בליבו של הטיעון, נובעת מכך שיש רק מספר סופי של שלמים אלגבריים שכל הצמודים שלהם קטנים (בערכם המוחלט) מחסם נתון. אם ממשיכים את השיכון אל הממשיים על ידי סיכום הרכיבים, תמונתו של כל איבר שווה ללוגריתם הערך המוחלט של הנורמה שלו, וכך הגרעין כולל בדיוק את האיברים ההפיכים. מנימוקים אלה נובע שחבורת ההפיכים של חוג השלמים נוצרת סופית, ודרגתה לכל היותר $\ r+s-1$.

כדי להוכיח שהדרגה שווה לחסם המדובר, יש להראות שדרגת הסריג שווה לממד של V. לשם כך נעזרים במשפט מינקובסקי, המאפשר לאתר איברים בעלי תכונות מתאימות ולבנות בסיס לסריג.