סמל כריסטופל

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

סמל כריסטופל ( $\ \Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }$ ) הוא קשר לוי-צ'יוויטה המהווה מקרה פרטי של קשר אפיני. לאיברי הקשר קוראים סמלי (או סימני) כריסטופל. סמל כריסטופל איננו טנזור.

הערך משתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.

הגדרה

סמל כריסטופל הוא קשר אפיני נובע מכך שבמערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס אינם קבועים וכאשר גוזרים וקטור לא מספיק לגזור רק את רכיבי הווקטור אלא יש לגזור גם את וקטורי הבסיס. הקשר מבטא עובדה זו וסמלי כריסטופל מוגדרים להיות המקדמים של הצירוף הליניארי בווקטורי הבסיס של נגזרת של וקטור בסיס, כלומר:

$\nabla _{\mu }{\vec {e}}_{\nu }=\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }{\vec {e}}_{\rho }$

קשר זה מאופיין באופן יחיד באמצעות שתי דרישות:

1. הקשר קומפטיבילי עם המטריקה (כלומר: עם הטנזור המטרי של רימן). כלומר: ניתן להחליף בסדר בין גזירה קו-ואריאנטית והעלאה והורדה של אינדקסים באמצעות המטריקה. מתמטית, זה מתבטא במשוואה $\ \nabla _{\rho }g_{\mu \nu }=0$.
2. הקשר הוא חסר פיתול. כלומר: ניתן להחליף את סדר הגזירה בנגזרות קו-ואריאנטיות מעורבות. מתמטית, זה מתבטא במשוואה $\ (\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu })\phi =0$. מכך נובע שסמל כריסטופל סימטרי בשני האינדקסים התחתונים שלו $\ \Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }=\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }$.

משתי דרישות אלה ניתן להראות שסמל כריסטופל נתון על ידי הצירוף הבא של הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי:

$\ \Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial g_{\sigma \nu }}{\partial x^{\rho }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\sigma }}}-{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x^{\nu }}}\right)$

כאשר $\ G^{-1}=g^{\mu \nu }$ היא המטריצה ההופכית של הטנזור המטרי ויש סכימה על האינדקס $\ \nu$ (ראו הסכם הסכימה של איינשטיין).

נגזרת קו-וריאנטית

באמצעות קשר כריסטופל אפשר להגדיר את הנגזרת הקו-ואריאנטית של טנזור:

• $\ \nabla _{\mu }A^{\nu }=\partial _{\mu }A^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }A^{\rho }$
• $\ \nabla _{\mu }B_{\nu }=\partial _{\mu }B_{\nu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }B_{\rho }$
• $\ \nabla _{\mu }C_{\sigma }^{\nu }=\partial _{\mu }C_{\sigma }^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }C_{\sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }C_{\rho }^{\nu }$

לנגזרת הקו-ואריאנטית שתי תכונות עיקריות:

1. נגזרת קו-ואריאנטית של טנזור גם היא טנזור.
2. וקטור שנשאר קבוע בטרנספורט מקבילי לאורך עקומה מאופיין בכך שהנגזרת הקו-ואריאנטית שלו לאורך העקומה שווה לאפס.

בפיזיקה

סמל כריסטופל מופיע בתורת היחסות הכללית והוא מבטא את הכוח שיוצר שדה גרביטציה. השפעתו על תנועתו של גוף מתבטאת בכך שגוף במרחב עקום נע בגאודזות באותו מרחב והמשוואה הגאודזית כוללת בתוכה גם את סמל כריסטופל ומושפעת ממנו

$\ {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}=0\quad ;\quad d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$

ראו גם

• קשר אפיני
• קשר לוי-צ'יוויטה
• הטנזור המטרי
• טנזור העקמומיות של רימן
• תורת היחסות הכללית

קישורים חיצוניים

• סמל כריסטופל, באתר MathWorld (באנגלית)