Jordan–Hölder-tétel

A csoportelmélet egy jelentős eredménye a Jordan–Hölder-tétel, amely azt állítja, hogy ha egy csoportnak van kompozíciólánca (olyan normállánca, ami tovább nem finomítható), akkor a csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Története

A tétel egy kezdetleges változatát Marie Ennemond Camille Jordan bizonyította be 1869-ben. A bizonyítást Otto Ludwig Hölder 1889-ben egészítette ki. A Jordan–Hölder-tételnek gyakran alkalmazott általánosítása a Schreier-féle finomítási tétel, amit Otto Schreier 1928-ban publikált. Hat évvel később 1934-ben Hans Zassenhaus továbbfejlesztette Schreier bizonyítását a Zassenhaus-lemma felhasználásával.

Bizonyítás

Legyen $G$ egy kompozíciólánccal rendelkező csoport. A tételt a kompozíciólánc $r$ hosszára vonatkozó indukcióval igazoljuk.

Ha $r=1$, azaz $G\triangleright e$ (ahol $e$ a csoport egységeleme) kompozíciólánc, akkor $G$ egyszerű, így ez az egyetlen kompozíciólánca.

Tegyük fel, hogy a tételben foglalt állítás r-nél kisebb hosszúságú láncokra igaz, és legyen
$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e$ és $G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e$
$G$-nek két kompozíciólánca.

Ha $G_{1}=H_{1}$, akkor elhagyva $G$-t mindkét helyen, a $G_{1}=H_{1}$ csoportnak két kompozícióláncát kapjuk. Ezek egyikének hossza $r-1$, tehát a $G_{1}$-ből illetva $H_{1}$-ből kiinduló részláncok izomorfak. $G_{0}/G_{1}=H_{0}/H_{1}$ miatt a két kompozíciólánc ebben az esetben szükségképpen izomorfak.

Ha $G_{1}\neq H_{1}$, akkor mivel sem $G$ és $G_{1}$ sem $G$ és $H_{1}$ közé nem iktatható tőlük különböző normális részcsoport, $G_{1}$ és $H_{1}$ a $G$-nek maximális normális részcsoportjai. $\left\{G_{1},H_{1}\right\}$ újból normális részcsoport $G$-ben, így $\left\{G_{1},H_{1}\right\}=G$.

Tekintsük a $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$ és $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$ normálláncokat. Itt $G_{1}\cap H_{1}$ a $G$-nek normális részcsoportja, tehát $G_{1}$-ben és a $H_{1}$-ben is normális és ezek mindegyikétől különbözik $G_{1}\neq H_{1}$ miatt. Az I. izomorfizmus-tétel figyelembevételével
$G/G_{1}\cong H_{1}/(G_{1}\cap H_{1})$ és $G/(G_{1}\cap H_{1})\cong G/H_{1}$,
vagyis $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$-nek első, illetve második faktora izomorf $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$-nek második illetve első faktorával. $G_{1}$ egy kompozícióláncának hossza $r-1$, tehát $G_{1}\cap H_{1}$-é $r-2$.

$G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$-ben és $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$-ben a pontok helyére $G_{1}\cap H_{1}$-nek egy kompozícióláncát téve $G$-nek két izomorf kompozícióláncát kapjuk.

Mivel $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e$ és $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$ $G_{1}$-ben,$G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e$ és $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$ $H_{1}$-ben közös a már bizonyíitottak szerint $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e$ és $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$ illetve
$G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e$ és $G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e$ izomorf kompozícióláncok. A tranzitivitás következtében $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e$ és $G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e$ is izomorf.

Alkalmazás

A magasbbfokú algebrai egyenletek elméletében fontos fogalom a feloldható csoport fogalma. $G$-t feloldható, ha van olyan normállánca, melyben minden faktorcsoport Abel-féle.

Kompozíciólánccal rendelkező csoport esetében ez azt jelenti, hogy van olyan kompozíciólánca (és a Jordan–Hölder-tétel szerint mindegyik olyan), amelynek faktorai kommutatívak.

Források

• Fuchs László, Algebra, Tankkönyvkiadó, 1963., 45. o.

További információk

• a tétel rövid története és alternatív bizonyítása
• MathWorld
• PlanetMath Archiválva 2010. június 20-i dátummal a Wayback Machine-ben