Csoportelmélet

A matematikában, azon belül az absztrakt algebrában a csoportelmélet a csoport nevű algebrai struktúrával foglalkozik. A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportokként.

Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.

Történet

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville.

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az erre irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

A csoport definíciói, alapfogalmak

A csoport olyan $(G,\cdot )$ egyműveletes algebrai struktúra, ahol $G$ tetszőleges nemüres halmaz, $\cdot$ pedig bármely $G$-beli $(a,b)$ elempárhoz az $a\cdot b\in G$ elemet rendelő függvény, melyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

A1). Bármely $a,b,c\in G$ elemre $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.	(asszociativitás);
A2). Létezik $G$-nek olyan $e$ eleme, amelyre a következő teljesül bármely $a\in G$ esetén: $e\cdot a=a\cdot e=a$.	(neutrális elem létezése);
A3). Bármely $a\in G$ elemhez található olyan $a^{-1}\in G$, amelyre teljesül $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$.	(inverzelemek létezése).

Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.

A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.

Belátható, hogy egy $(G,\cdot )$ algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha A1) mellett a következő tulajdonság teljesül:

A2'). Tetszőleges $a,b\in G$ esetén léteznek olyan $x,y\in G$ elemek, melyekre $a\cdot x=b$ és $y\cdot a=b$ teljesül, más szavakkal az egyenletek megoldhatóak $G$-ben $x$-re és $y$-ra

T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.

Biz.: Legyen $e,f\in G$ egységelem $G$-ben, ekkor tetszőleges $a\in G$-re $a\cdot e=e\cdot a=a$ és $a\cdot f=f\cdot a=a$ is teljesül A1) szerint. Ekkor persze $f$-re is teljesül az első egyenlőség miatt $f\cdot e=e\cdot f=f$, $e$-re pedig a második egyenlőség alapján $e\cdot f=f\cdot e=e$. Mivel az egyenlőség tranzitív reláció, $e\cdot f=f$ és $e\cdot f=e$ alapján $f=e$, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.

T2. következmény: Bármely $(G,\cdot )$ csoportnak pontosan egy egységeleme van.

Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és $|G|$-vel jelöljük.

Részcsoportok

Ha a $(G,*)$ csoport egy $H$ részhalmaza maga is csoportot alkot a $H\times H$-ra leszűkített $*$ művelettel, akkor $(H,*')$-t a $(G,*)$ részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük ($*':H\times H\to H$ a $*$ leszűkítése). A részcsoport jelölése: $H<G$. Részcsoportok metszete maga is részcsoport; részcsoportok uniója általában nem az.

Ha $H\neq G$, akkor $H$-t $G$ valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:

• $H$ nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
• $H$ rendje osztja $G$ rendjét.

Mellékosztályok

Legyen $H<G$ és $x\in G$. Ekkor

• az $xH=\{xa|a\in H\}\subseteq G$ halmazt $H$ $x$ szerinti bal oldali mellékosztályának, illetve
• a $Hx=\{ax|a\in H\}\subseteq G$ halmazt $H$ $x$ szerinti jobb oldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:

• Általános esetben a bal és jobb oldali mellékosztályok különböznek.
• Két bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztályok lefedik a teljes $G$-t (azaz uniójuk előállítja $G$-t).
• Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát $H$ rendjével).

Lagrange tétele

Az előző szakasz megjegyzései alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk és így jelölünk: $|G:H|$ ) osztója a csoport rendjének. $H$ rendje maga is osztója $G$ rendjének, és $|G:H|\cdot |H|=|G|$. Ez Lagrange tétele.

Normálosztó, faktorcsoport

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére $g^{-1}Ng\subseteq N$ teljesül. Jelben $N\triangleleft G$.

Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-nel jelöljük.

Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmus-tétel

Legyen $(G,\cdot )$ és $(H,*)$ két csoport és legyen $\phi :G\to H$ olyan leképezés, hogy tetszőleges $g,h\in G$ elemekre $\phi (g\cdot h)=\phi (g)*\phi (h)$. Az ilyen $\phi$ leképezést csoporthomomorfizmusnak (vagy egyértelmű esetekben egyszerűen homomorfizmusnak) nevezzük.

Speciálisan, ha $\phi$ bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy $G$ és $H$ izomorf csoportok.

Ha $G=H$, azaz $\phi$ egy $G$-t önmagába képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy $\phi$ a $G$ csoport automorfizmusa. Tetszőleges $G$ csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra, mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele $Aut(G)$, egységeleme az identikus leképezés.

Legyen $\phi :G\to H$ homomorfizmus. Azoknak a $g\in G$ elemeknek a halmazát, amelyekre $\phi (g)=1$, a $\phi$ homomorfizmus magjának nevezzük és $\ker \phi$-vel jelöljük. $\ker \phi$ elemei csoportot alkotnak, méghozzá $\ker \phi$ normálosztó $G$-ben.

A $G/\ker \phi$ faktorcsoport izomorf $\phi (G)$-vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.

Centrum, centralizátor

Legyen $G$ tetszőleges csoport. Azoknak a $g$ elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy $gx=xg$ minden $x\in G$-re, $G$ centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan) $Z(G)$-vel jelöljük. $Z(G)$ sohasem üres halmaz, mert $1\in Z(G)$, $Z(G)$ elemei csoportot alkotnak, mi több $Z(G)\triangleleft G$. $G$ akkor és csak akkor kommutatív, ha $G=Z(G)$.

Legyen $a\in G$. Azoknak az $x\in G$ csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy $ax=xa$, $a$ centralizátorának nevezzük és $C(a)$-val jelöljük. $C(a)$ sohasem üres halmaz, mert $1\in C(a)$, sőt $C(a)$ csoport. $C(a)$ az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben $a$ még centrumelem; $a\in Z(G)$ ⇔ $C(a)=G$. $Z(G)$ az összes elem centralizátorának a metszete.

Konjugálás, konjugáltosztályok, osztályegyenlet

Legyen $(G,*)$ csoport. Egy $a\in G$ csoportelemnek egy $x\in G$ csoportelemmel vett konjugáltját az $a^{x}=x^{-1}ax$ kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:

• A fönti definícióval $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$, $(a^{x})^{y}=a^{xy}$, $e^{x}=e$ és $a^{e}=a$ ($e$ a $G$ egységeleme, $a,b,x,y\in G$ tetszőlegesek).
• Egyes szerzők a konjugáltat az $xax^{-1}$ kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az $(a^{x})^{y}=a^{yx}$ teljesül), illetve az ${\tilde {a}}$ jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be $G$ elemei között a $\sim$ relációt a következőképpen: az $a,b\in G$ csoportelemekre $a\sim b\iff \exists x\in G:a^{x}=b$. Könnyen belátható, hogy $\sim \subseteq G\times G$ ekvivalenciareláció, tehát $\sim$ szerint $G$ diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.

Az $a$-t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik $C(a)$ indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje $K_{1},K_{2},...,K_{n}$ a $G$ csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok $G$-nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:

$|G|=|Z(G)|+|K_{1}|+|K_{2}|+...+|K_{n}|$

Itt jobb oldalon minden tag osztója $G$ rendjének.

Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha $|G|=p^{n}$, ahol $p$ prím, akkor $Z(G)$ nem egyelemű. Valóban, a $K_{i}$-k mind oszthatók $p$-vel, csakúgy mint $|G|$, ezért $Z(G)$ is osztható $p$-vel.

Abel-csoportok. Bázis

Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.

Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.

További példák Abel-csoportokra:

• additív:
  • egész számok
  • racionális számok
  • valós számok
  • komplex számok
  • kvaterniók
  • egy adott n-nel osztható egész számok
  • egy $\alpha$ számra az $\alpha$ szám egész számszorosai
• multiplikatív:
  • racionális számok a 0 nélkül
  • valós számok a 0 kivételével
  • komplex számok a 0 nélkül

Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT)

Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.

Egyszerű csoportok

Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.

Sylow-csoportok

Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje $p^{h}$, ahol $p^{h+1}$ nem osztója a G csoport rendjének.

A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.

I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.

Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.

Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.

II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h

Következmény - G összes P-Sylowja izomorf

Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek

III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.

Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.

Normállánc

Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek. $G=N_{0}\triangleright N_{1}\triangleright N_{2}\triangleright \dots \triangleright N_{r}=1$.

Itt r akár 0 is lehet.

A normállánc faktorai az $N_{i}$/$N_{i+1}$ faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.

Az $L_{1}$ lánc az L finomítása, ha L összes elemét tartalmazza, és hosszabb.

A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.

Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?

Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.

Véges csoportokra van még a Jordan–Hölder-tétel a kompozícióláncokról

Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Feloldható csoportok

A G csoportot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca, amelynek minden faktora Abel-csoport. Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható. Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok, akkor G is feloldható.

Példák:

• S_n akkor és csak akkor feloldható, ha n<5.
• Speciálisan, S₄ negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
• Minden Abel-csoport feloldható.

Nilpotens csoportok

A G csoport egy normálláncát centrálláncnak nevezünk, ha a normállánc minden eleme normálosztó a teljes csoportban, és a normállánc szomszédos elemeinek faktorcsoportja részcsoportja G centrumának. G-t nilpotensnek nevezünk, ha létezik véges centrállánca. A definícióból azonnal következik, hogy a nilpotens csoportok feloldhatóak.

Ha G nilpotens, akkor minden centrálláncának ugyanaz a hossza. Ezt a közös hosszúságot G nilpotenciaosztályának nevezzük. Minden Abel-csoport nilpotens, és nilpotenciaosztálya 1. További, kevésbé triviális példák a nilpotens csoportokra a p-csoportok. Minden véges csoport Frattini-részcsoportja is nilpotens.

Szabad csoportok

Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.

Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x-eket.

A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.

Permutációcsoport

Az $S_{n}$ részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.

Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.

Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:

$f_{h}={\begin{pmatrix}1&g_{2}&g_{3}&\ldots &g_{n}\\h&hg_{2}&hg_{3}&\ldots &hg_{n}\end{pmatrix}}.\$,

ahol $1,g_{2},g_{3},\dots ,g_{n}$ a G csoport összes eleme felsorolva.

Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,…

Orbit és stabilizátor

Legyen most G permutációcsoport $\Omega$ fölött.

$\Omega$ egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az $\Omega$ -beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.

Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben. (Következésképpen az orbitok elemszáma osztja a csoport rendjét.)

A G csoport tranzitív, ha $\Omega$ bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est $\Omega$ elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba. Ha G tranzitív, akkor $\Omega$ valamennyi eleme egyetlen orbithoz tartozik.

Példa - kocka szimmetriacsoportja

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.

Hatás

Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:

• ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
• gh*x=g*(h*x)
• 1 egységeleme G-nek, 1*x=x

Példák

• a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
• a G csoport hat önmagán konjugálással
• a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain

További információk

• A megalázott géniusz, YOUPROOF
• Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl
• Alice és Bob - 25. rész: Alice és Bob fontos párhuzamokat talál

Források

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Fried Ervin: Algebra I.
• Pelikán József: Algebra I.