Négyzetteljes számok

A négyzetteljes szám, hatványteljes szám, 2-teljes szám (powerful number) olyan m pozitív egész, aminek minden p prímosztójára igaz, hogy p² is osztója m-nek. Ezzel ekvivalens definíció, hogy prímtényezős felbontásában minden prímtényező legalább második hatványon van, illetve hogy egy teljes négyzet és egy teljes köb szorzata – felírható tehát m = a²b³ alakban, ahol a és b pozitív egészek. Erdős Pál és Szekeres György tanulmányozta ezeket a számokat, amiknek Solomon W. Golomb adta a powerful nevet (ami angolul hatalmasat is jelent).

Az 1 és 1000 közötti négyzetteljes számok listája:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (A001694 sorozat az OEIS-ben).

Az olyan hatványteljes számot, ami nem teljes hatvány, Achilles-számnak nevezik.

A két definíció egyenértékűsége

Ha m = a²b³, akkor minden prím, ami az a prímtényezős felbontásában szerepel, legalább 2 kitevővel megjelenik m prímtényezős felbontásában is, és minden prím, ami a b prímtényezős felbontásában megjelenik, legalább 3 kitevővel megjelenik m prímtényezős felbontásában; ezért m négyzetteljes.

Megfordítva: tegyük fel, hogy m négyzetteljes, prímtényezős felbontása pedig

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},

ahol mindegyik α_i ≥ 2. Legyen γ_i 3, ha α_i páratlan, egyébként 0; legyen továbbá β_i = α_i - γ_i. Ekkor β_i minden esetben nemnegatív páratlan egész, γ_i pedig minden esetben 0 vagy 3, tehát

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

adja az m felbontását egy négyzetszám és egy köbszám szorzatára.

Kevésbé formálisan: tekintve m prímtényezős felbontását, legyen b az m szám páratlan kitevőjű prímtényezőinek a szorzata (ha nincs ilyen, legyen b = 1). Mivel m négyzetteljes szám, ezért minden páratlan kitevőjű prímtényezőjének legalább 3 a kitevője, így m/b³ egész szám lesz. Ráadásul, m/b³ minden prímtényezőjének páros lesz a kitevője, tehát m/b³ teljes négyzet, legyen tehát ez a²; ekkor m = a²b³. Egy konkrét példa:

m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,

b=2\times 3=6\,,

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.

Az m = a²b³ ilyen kiszámolásából következik az a tulajdonság, hogy b is négyzetmentes, és egyértelműen meghatározott.

Matematikai tulajdonságuk

A négyzetteljes számok Dirichlet-generátorsorozata

{\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}\

,

így a négyzetteljes számok reciprokösszege konvergál

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)

-hoz,

ahol p a prímeken fut végig, ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény, ζ(3) pedig az Apéry-konstans (Golomb, 1970).

Jelölje k(x) a négyzetteljes számok számát az [1,x] intervallumban. Ekkor k(x) arányos x négyzetgyökével. Precízebben:

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2,173\cdots

(Golomb, 1970).

A két legkisebb, egymást követő hatványteljes szám a 8 és a 9. Mivel az x² − 8y² = 1 Pell-egyenletnek végtelen sok egész megoldása van, végtelen sok egymást követő hatványteljes szám létezik (Golomb, 1970). (A001694 sorozat az OEIS-ben)

A matematika megoldatlan problémája:

Lehet-e három egymást követő szám mindegyike hatványteljes?

(A matematika további megoldatlan problémái)

Általánosabban, az egymást követő hatványteljes számok a hasonló x² − ny² = ±1 Pell-egyenlet bármely teljes köb n-re történő megoldásával találhatók meg. Azonban, a két hatványteljes szám egyikének négyzetszámnak kell lennie. Guy szerint Erdős feltette a kérdést, hogy vajon létezik-e végtelen sok olyan egymást követő hatványteljes számpáros (mint a 23³, 2³3²13²), melynek egyik tagja sem négyzetszám. Jaroslaw Wroblewski megmutatta, hogy valóban, végtelen sok ilyen páros létezik, hiszen a 3³c²+1=7³d² egyenletnek végtelen sok megoldása van. Erdős, Mollin és Walsh sejtése szerint nem létezik három, egymást követő hatványteljes szám.

Négyzetteljes számok összegei és különbségei

Minden páratlan szám felírható egymást követő négyzetszámok különbségeként: (k + 1)² = k² + 2k + 1, tehát (k + 1)² − k² = 2k + 1. Hasonlóan, 4 bármely többszöröse felírható kettő különbségű számok négyzeteinek különbségeként: (k + 2)² − k² = 4k + 4. Azonban egy egyszeresen páros szám (tehát ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem), nem fejezhető ki négyzetszámok különbségeként. Ezután felmerül a kérdés, hogy az egyszeresen páros számok közül melyek fejezhetők ki négyzetteljes számok különbségeként. Golomb megvizsgált néhány ilyen felírást:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Azt sejtették, hogy a 6 nem fejezhető ki ilyen módon, és Golomb azt a sejtést is tette, hogy végtelen sok olyan egész szám létezik, ami nem fejezhető ki négyzetteljes számok különbségeként. Narkiewicz azonban megmutatta, hogy a 6 is végtelen sok módon kifejezhető, pl.

6 = 5⁴7³ − 463²,

McDaniel pedig megmutatta, hogy minden egész számnak végtelen sok ilyen reprezentációja létezik (McDaniel, 1982).

Erdős sejtése szerint minden elegendően nagy egész szám kifejezhető legfeljebb három négyzetteljes szám összegeként; ezt Roger Heath-Brown 1987-ben igazolta.

Általánosítása

Általánosabban, tekintsük azokat az egészeket, melyeknek az összes prímtényezője legalább k kitevővel szerepel. Az ilyen egész számokat nevezzük k-hatványteljes számnak vagy k-teljes számnak.

A következő számtani sorozat

(2^k+1 − 1)^k, 2^k(2^k+1 − 1)^k, (2^k+1 − 1)^k+1

k-teljes számokból áll. Továbbá, ha a₁, a₂, ..., a_s k-teljes számok d különbségű számtani sorozata, akkor

a₁(a_s + d)^k,

a₂(a_s + d)^k, ..., a_s(a_s + d)^k, (a_s + d)^k+1

s + 1 darab számtani sorozatot alkotó k-teljes szám lesz.

A k-teljes számokkal kapcsolatos a következő azonosság:

a^k(a^l + ... + 1)^k + a^{k + 1}(a^l + ... + 1)^k + ... + a^{k + l}(a^l + ... + 1)^k = a^k(a^l + ... +1)^k+1.

Ez végtelen sok olyan k-teljes számokból álló szám-l+1-est ad, melyek összege is k-teljes. Nitaj megmutatta, hogy az x+y=z egyenletnek végtelen sok megoldása létezik a relatív prím 3-teljes számok között (Nitaj, 1995). Cohn a következő módon konstruált végtelen megoldáscsaládot az x+y=z relatív prím 3-teljes számokra: a következő triplet

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

megoldása a 32X³ + 49Y³ = 81Z³ egyenletnek. Konstruálhatunk egy másik megoldást, ha vesszük az X′ = X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³) és elhagyjuk a közös osztót.

Kapcsolódó szócikkek

Achilles-szám

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Powerful number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

Cohn, J. H. E. (1998). „A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers”. Math. Comp. 67 (221), 439–440. o. DOI:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
Erdős, Paul and Szekeres, George (1934). „Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem”. Acta Litt. Sci. Szeged 7, 95–102. o.
Golomb, Solomon W. (1970). „Powerful numbers”. American Mathematical Monthly 77 (8), 848–852. o. DOI:10.2307/2317020. JSTOR 2317020.
Guy, Richard K.. Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. Springer-Verlag, Section B16. o. (2004). ISBN 0-387-20860-7
Heath-Brown, Roger (1988). „Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers”. Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7: 137–163, Boston: Birkhäuser.
Heath-Brown, Roger (1990). „Sums of three square-full numbers”. Number Theory, I (Budapest, 1987): 163–171, Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51.
Ivić, Aleksandar. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons, 33–34,407–413. o. (1985). ISBN 0-471-80634-X
McDaniel, Wayne L. (1982). „Representations of every integer as the difference of powerful numbers”. Fibonacci Quarterly 20, 85–87. o.
Nitaj, Abderrahmane (1995). „On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers”. Bull. London Math. Soc. 27 (4), 317–318. o. DOI:10.1112/blms/27.4.317.