Reductio ad absurdum

A reductio ad absurdum (latin: visszavezetés az abszurdra) az érvelés egy formája, amely során az érvelő a vita kedvéért elfogad egy állítást, megmutatja, hogy valamilyen képtelenség következik belőle, és ebből arra jut, hogy az állítás mégse volt igaz.

Ez a fajta érvelés a kontrapozíció nevű érvelési séma speciális esete (ld. még: Következtetési sémák a formális logikában/Kontrapozíció).

Logikai megfelelőjének a következő szabályokat szokás tekinteni:

${\begin{array}{rcl}\scriptstyle \Gamma ,A&\scriptstyle \Rightarrow &\scriptstyle B\\\scriptstyle \Gamma ,A&\scriptstyle \Rightarrow &\scriptstyle \lnot B\\\hline \scriptstyle \Gamma &\scriptstyle \Rightarrow &\scriptstyle \lnot A\end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{rcl}\scriptstyle \Gamma ,A&\scriptstyle \Rightarrow &\scriptstyle \bot \\\hline \scriptstyle \Gamma &\scriptstyle \Rightarrow &\scriptstyle \lnot A\end{array}}$

Itt $\scriptstyle \Gamma$ kijelentések egy halmaza, $\scriptstyle A$ és $\scriptstyle B$ pedig tetszőleges kijelentések, $\scriptstyle \bot$ pedig az ellentmondásnak megfelelő logikai konstans.

A matematikai logikában a kizárt harmadik elvének kell teljesülnie, hogy ez a fajta következtetés alkalmazható legyen. Az ilyen matematikai bizonyítások végét gyakran jelölik az informális villám (U+21AF: ↯) szimbólummal.

Retorikailag hasonló, de logikai értelemben nem feltétlen helyes érvelés a reductio ad ridiculum, amikor egy olyan következtetést vezetnek le az állításból, ami nem mindenkinek, hanem csak a hallgatóság számára abszurd.

Példák

• Klasszikus példa Euklidész bizonyítása a prímek végtelenségére. Tegyük fel, hogy a természetes számok között csak véges sok prím van, és jelöljük őket $p_{1}\ldots p_{n}$-nel. Ekkor a $p=(p_{1}\cdots \ldots \cdots p_{n})+1$ szám nem lehet prím, mert minden prímnél nagyobb, ugyanakkor összetett sem lehet, mert mindegyik prímmel 1 maradékot ad. Ellentmondásra jutottunk, így a prímek száma nem lehet véges.
• Egy másik klasszikus, a görög matematikából származó példa a gyök kettő irracionalitása: tegyük fel, hogy a gyök kettő racionális, azaz vannak olyan a és b egész számok, hogy ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$, ahol a≠0, b≠0 és a és b relatív prímszámok, azaz az a/b tört tovább nem egyszerűsíthető. Ekkor $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$, azaz $2b^{2}=a^{2}\,$. Az egyenlőség alapján a² páros, tehát a is páros, így felírható a=2c alakban. Az egyenlőségbe visszahelyettesítve 2b²=4c², egyszerűsítve b²=2c². Ebből következik, hogy b² páros, tehát b is páros. Mivel a és b is páros, nem lehetnek relatív prímek, ami ellentmondás.
• Egy kocka nem bontható fel véges sok, páronként különböző kisebb kockára. Ha ugyanis felbontható lenne, akkor az alsó lapján a legkisebb kockát véve, annak csupa önmagánál nagyobb szomszédja lenne, így a rajta lévő kocka sem lehetne nagyobb nála, ami ellentmond annak, hogy a legkisebb kockát vettük.

A fenti példák mind valaminek a nemlétét bizonyítják. Ha elfogadjuk a kizárt harmadik axiómáját, akkor valaminek a léte is bizonyítható hasonló módon; a fixponttétel példa egy ilyen bizonyításra. Egyes matematikai iskolák, például az intuicionizmus, elvetik a kizárt harmadik elvét, és vele a reductio ad absurdumon alapuló egzisztenciabizonyításokat is.

Lásd még

• modus tollens
• indirekt bizonyítás
• végtelen leszállás
• reductio ad Hitlerum

Források

• Imre Ruzsa. Bevezetés a modern logikába. Budapest: Osiris Kiadó (2000). ISBN 963 379 978 3