H-թեորեմ

H-թեորեմ, ոչ դարձելի պրոցեսներում իդեալական գազի էնտրոպիայի աճը նկարագրող թեորեմ։ Ստացել է Լյուդվիգ Բոլցմանը 1872 թվականին, ելնելով Բոլցմանի հավասարումից։ H-ը ներկայացնում է էնտրոպիան։ Թեորեմը վիճակագրական մեխանիկայի հզորությունը ցույց տվող վաղ պնդումներից էր։ Այն դուրս է բերվում թերմոդինամիկայի երկրորդ օրենքից՝ պնդում հիմնարար կերպով ոչ դարձելի պրոցեսների մասին։ Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ թեորեմը նկարագրում էնտրոպյաի անշրջելի աճը՝ ելնելով դինամիկայի միկրոսկոպիկ դարձելի հավասարումներից։ Իր ժամանակին այս արդյունքը բուռն վեճեր է առաջացրել։ H-թեորեմից բխող հետևությունների վերաբերյալ բարձրացած քննարկումները երկու հիմնական հարցադրում են անում.

• Ի՞նչ է էնտրոպիան։ Ի՞նչ իմաստով է Բոլցմանի H մեծությունը համապատասխանում թերմոդինամիկական էնտրոպիային։
• Արդյո՞ք Բոլցմանի հավասարումից եկող եզրակացությունները բավարար չափով ուժեղ են։ Ե՞րբ են այդ եզրակացությունները խախտվում։

Բոլցմանի H-ի սահմանումը և իմաստը

H-ի արժեքը որոշվում է f(E,t) dE ֆունկցիայից, որը մոլեկուլների էներգիայի բաշխման ֆունկցիան է t պահին։ f(E,t) dE-ի արժեքը այն մոլեկուլների թիվն է, որոնց կինետիկ էներգիան E-ի և E + dE-ի միջև է։ H-ը սահմանվում է որպես

$H(t)=\int _{0}^{\infty }f(E,t)\left[\log \left({\frac {f(E,t)}{\sqrt {E}}}\right)-1\right]\,dE$

Մեկուսացված իդեալական գազի համար (մասնկիների ֆիքսված թվով և ֆիքսված արդյունարար էներգիայով) H ֆունկցիան նվազագույն արժեքն ունի, երբ մասնիկը նկարագրվում է Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումով. եթե իդեալական գազի մոլեկուլներն այլ կերպ են բաշխված (օրինակ՝ բոլորի կինետիկ էներգիան նույնն է), ապա H-ի արժեքը ավելի մեծ կլինի։ Բոլցմանի H-ի թեորեմը ցույց է տալիս, որ երբ մոլեկուլների միջև բախումները թույլատրելի են, այդպիսի բաշխումները կայուն չեն և անշրջելիորեն ձգտում են դեպի H-ի նվազագույն արժեքը (դեպի Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը)։

Բոլցմանի H թեորեմը

Գազի այս մեխանիկական մոդելում մոլեկուլների շարժումը մեծապես չկարգավորված է։ Բոլցմանը ցույց տվեց, որ եթե ընդունենք, որ գազում բախումների ամեն կոնֆիգուրացիա իսկապես պատահական և անկախ է, գազը ձգտում է Մաքսվելի արագությունների բաշխմանը, եթե նույնիսկ սկզբնապես այդ բաշխումով չէր նկարագրվում։

Բոլցմանը դիտարկեց, թե ինչ կպատահի երկու մասինկների բախման ընթացքում։ Մեխանիկական հայտնի փաստ է, որ երկու մասնիկների (ինչպես կարծր գնդերի) առաձգական բախումներում մասնիկների փոխանակած էներգիան կախված է սկզբնական կոորդինատներից (բախման անկյունից և այլն)։

Բոլցմանն արեց իր կարևոր եզրակացությունը, որը հայտնի է Stosszahlansatz անունով (մոլեկուլային քաոսի եզրակացություն). գազում երկու մասնիկների բախման ընթացքում բախմանը մասնակցող մասնիկները ունեն 1) անկախ ընտրված կինետիկ էներգիաներ, 2) արագությունների անկախ ուղղություններ, 3) անկախ սկզբնական կետեր։ Ունենալով այս ենթարդությունները և էներգիայի փոխանակման մեխանիզմը, մասնիկների էներգիաների բախումից հետո կենթարկվեն որոշակի նոր պատահական բաշխման, որը հնարավոր է հաշվել։

Ենթադրելով, որ չկոռելացված բախումները կրկնվում են գազում ցանկացած և բոլոր մյուս մոլեկուլների միջև, Բոլցմանը ստացավ իր կինետիկ հավասարումը (Բոլցմանի հավասարում)։ Այս կինետիկ հավասարումից բխող եզրակացությունն այն է, որ բախումների շարունակական պրոցեսի հետևանքով H մեծությունը նվազում է մինչև իր նվազագույն արժեքը։

Ազդեցությունները

Չնայած հետագայում պարզվեց, որ Բոլցմանի H-թեորեմը թերմոդինամիկայի երկրորդ օրենքի բացարձակ ապացույցը չէ, ինչպես սկզբնապես ներկայանում էր, H-թեորեմը 19-րդ դարի վերջին տարիներին Բոլցմանին առաջնորդեց թերմոդինամիկայի բնույթի վիճակագրական ընկալմանը։ Թերմոդինամիկայի հավանակային բնույթը ամփոփվեց 1902 թվականին Ջոզայա Գիբսի վիճակագրական մեխանիկայով (ոչ միայն գազերի, այլև ընդհանրացված համակարգերի համար) և ընդհանրացված վիճակագրական համույթներով։

Կիտետիկ հավասարումը և մասնավորապես Բոլցմանի մոլեկուլային քաոսի ենթադրությունը Բոլցմանի հավասարումների մի ամբողջ շարքի հիմք դարձան, որոնք ներկայումս դեռ կիրառվում են մասնիկների շարժումը մոդելավորելու համար (օրինակ՝ էլեկտրոնների շարժումը կիսահաղորդչում)։ Շատ դեպքերում մոլեկուլային քաոսի ենթադրությունը խիստ ճշգրիտ է, և ավելի պարզ է դարձնում։