Matriks diagonal

Dalam aljabar linear, matriks diagonal adalah matriks dengan elemen-elemen yang bukan diagonal utama bernilai nol. Matriks ini umumnya merujuk pada matriks persegi. Contoh matriks diagonal berukuran 2 x 2 adalah $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, sedangkan contoh matriks diagonal berukuran 3 x 3 adalah $\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&7&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]$. Matriks identitas berukuran berapapun, maupun kelipatannya (matriks skalar), juga termasuk matriks identitas.

Determinan dari matriks diagonal adalah hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Definisi

Matriks diagonal adalah matriks dengan semua elemen-elemen yang bukan diagonal utamanya bernilai 0. Dengan demikian, matriks $\mathbf {D} =(d_{ij})$ dengan $n$ kolom dan $n$ baris dikatakan diagonal jika

$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0$.

Namun, tidak ada batasan nilai untuk elemen-elemen pada diagonal utamanya.

Istilah matriks diagonal terkadang juga merujuk ke matriks persegi panjang diagonal, yakni matriks berukuran $m\times n$ dengan setiap elemen yang bukan pada posisi $d_{ii}$ bernilai 0. Sebagai contoh:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$ atau ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

Namun lebih sering, istilah matriks diagonal merujuk pada matriks persegi, yang juga disebut dengan matriks persegi diagonal. Matriks persegi diagonal adalah matriks simetrik, sehingga matriks ini juga dapat disebut sebagai matriks simetrik diagonal. Matriks berikut adalah contoh matriks simetrik diagonal:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$

Jika elemen matriks adalah bilangan real atau bilangan kompleks, matriks tersebut juga merupakan matriks normal.

Pada pembahasan selanjutnya, artikel ini hanya membahas tentang matriks persegi diagonal, dan merujuknya dengan istilah "matriks diagonal". Notasi yang umum digunakan untuk mewakili matriks diagonal $\mathbf {D}$ berukuran $n\times n$, dengan elemen sepanjang diagonal utama secara berurutan $a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}$, disimbolkan dengan ${\text{diag}}(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})$.

Sifat

• Determinan dari matriks diagonal ${\text{diag}}(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})$ adalah hasil kali setiap elemen diagonal utamanya, yakni $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$.
• Adjugat dari matriks diagonal juga berupa matriks diagonal.
• Matriks persegi adalah matriks diagonal jika dan hanya jika:
  • matriks tersebut segitiga dan normal.
  • matriks tersebut matriks segitiga atas sekaligus matriks segitiga bawah.
• Matriks diagonal termasuk matriks simetrik.
• Matriks identitas $\mathbf {I} _{n}$ dan matriks nol bersifat diagonal.
• Matriks berukuran $1\times 1$ selalu diagonal.

Matriks skalar

Matriks diagonal dengan semua elemen diagonalnya bernilai sama disebut dengan matriks skalar; yakni, matriks kelipatan skalar $\lambda$ dari matriks identitas $\mathbf {I}$. Berikut adalah contoh matriks skalar ukuran 3×3

${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda \mathbf {I} _{3}$

Efek perkalian matriks ini dengan suatu vektor sama dengan perkalian skalar vektor tersebut dengan λ.

Operasi vektor

Mengalikan vektor dengan matriks diagonal akan menghasilkan vektor baru dengan setiap elemen adalah hasil perkalian elemen vektor dengan elemen diagonal yang bersesuaian. Secara lebih formal, untuk matriks diagonal $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ dan sebuah vektor $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, hasil perkalian keduanya adalah:

$\mathbf {Dv} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$

Hal ini dapat dinyatakan dengan lebih sederhana dengan menyatakan matriks diagonal sebagai vektor, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, dan mengambil hasil kali Hadamard dari kedua vektor (hasil kali elemen-demi-elemen) yang dinyatakan sebagai $d\odot v$:

$Dv=d\circ v={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$

Walau secara matematika setara, notasi ini tidak perlu menyimpan semua elemen-elemen bernilai nol dalam bentuk matriks rongga. Hasil kali ini digunakan dalam machine learning, contohnya untuk menghitung hasil kali dari turunan dalam backpropagation, atau mengalikan berat IDF dalam algoritma TF-IDF.

Operasi matriks

Operasi penjumlahan dan perkalian matriks tidak sulit untuk matriks diagonal. Dengan menyatakan matriks diagonal ukuran $n\times n$ sebagai $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$, penjumlahan matriks diagonal $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$ dapat dinyatakan sebagai

$\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})$

Sedangkan untuk perkalian matriks,

$\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})$.

Matriks diagonal $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ dapat dibalik jika dan hanya jika semua elemen $a_{1},\dots ,a_{n}$ bernilai tidak nol. Dalam keadaan tersebut,

$\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})$

Secara khusus, matriks diagonal membentuk sebuah subgelanggang dari himpunan semua matriks berukuran $n\times n$.

Aplikasi

Matriks diagonal banyak muncul dalam berbagai area aljabar linear. Karena sifat operasi matriks dan nilai/vektor eigen yang sederhana, umumnya sebuah matriks atau peta linear dinyatakan dalam bentuk matriks diagonal. Faktanya, sebuah matriks $\mathbf {A}$ serupa dengan suatu matriks diagonal jika dan hanya jika matriks tersebut memiliki n vektor eigen yang saling bebas linear. Matriks seperti itu dikatakan dapat didiagonalkan.