Segnatura (algebra lineare)

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che corrispondono al numero di autovalori di una matrice simmetrica (o di un prodotto scalare associato).

La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura $(n,0,0)$, mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura $(3,1,0)$ oppure $(1,3,0)$, a seconda delle convenzioni.

Definizione

Sia $A$ una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura $(i_{+},i_{-},i_{0})$ di $A$ è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori $i_{+},i_{-}$ e $i_{0}$ sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di $A$, ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.

Se $\phi$ è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita, la segnatura di $\phi$ è definita come la segnatura della matrice che rappresenta $\phi$ rispetto ad una qualsiasi base.

Notazioni alternative

Nei casi in cui $i_{0}=0$, vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine $i_{0}$ è omesso, e si parla di segnatura come coppia $(i_{+},i_{-})$ di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni "$+$" e "$-$" rispettivamente $i_{+}$ e $i_{-}$ volte. Quindi si scrive $(+,+,-)$ per $(2,1)$, cioè $(2,1,0)$, e $(+,-,-,-)$ per $(1,3)$, cioè $(1,3,0)$. Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale. Oppure si può usare anche un singolo numero $s:=i_{+}-i_{-}$.

Proprietà

Teorema spettrale

Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale $A_{n\times n}$ è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente $n$ autovalori reali (contati con molteplicità). Quindi $i_{+}+i_{-}+i_{0}=n$.

Teorema di Sylvester

Per il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.

Interpretazione geometrica degli indici

I valori $i_{+},i_{-}$ e $i_{0}$ sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di $\phi$, oppure del nucleo di $A$. Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura $(i_{+},i_{-},0)$.

Gli indici $i_{+}$ e $i_{-}$ sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.

Esempi

Matrici

La segnatura della matrice identità $n\times n$ è $(n,0,0)$. Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.

Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura $(1,1,0)$, e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

Prodotti scalari

Il prodotto scalare standard in $\mathbb {R} ^{n}$ ha segnatura $(n,0,0)$. Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.

Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura $(0,n,0)$. Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura $(n,0,m)$, ed uno semidefinito negativo $(0,n,m)$.

Lo spazio-tempo di Minkowski è $\mathbb {R} ^{4}$ con il prodotto scalare definito dalla matrice:

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

ed ha quindi segnatura $(1,3,0)$. Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura $(3,1,0)$.

Calcolo della segnatura

Per calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche.

• Poiché il polinomio caratteristico ha tutte le radici reali, il loro segno può essere determinato con la regola dei segni di Cartesio.
• L'algoritmo di Lagrange fornisce un metodo per calcolare una base ortogonale, e quindi per calcolare una matrice diagonale congruente (e quindi con la stessa segnatura) a quella data: la segnatura di una matrice diagonale si ottiene quindi contando i segni dei valori sulla diagonale.
• Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i determinanti dei suoi minori principali sono tutti positivi.

Bibliografia

• Tevian Dray, George Ellis, Charles Hellaby e Corinne A. Manogue, Gravity and signature change, in General Relativity and Gravity, vol. 29, 1997, pp. 591–597, Bibcode:1997GReGr..29..591D, DOI:10.1023/A:1018895302693, arXiv:gr-qc/9610063.

Voci correlate

• Congruenza fra matrici
• Forma sesquilineare
• Matrice simmetrica
• Prodotto scalare
• Teorema di Sylvester
• Teorema spettrale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Segnatura, su MathWorld, Wolfram Research.