Teorema di Picard
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Il Teorema di Picard in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Émile Picard.
Premesse
[modifica | modifica wikitesto]Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z0, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z0}. Il numero complesso z0 prende il nome di singolarità essenziale per f se vale una delle seguenti equivalenti affermazioni:
- Esiste un numero infinito di termini negativi dello sviluppo in serie di Laurent di f in z0 .
- Il modulo non ha limite per tendente a
Enunciato
[modifica | modifica wikitesto]Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z0, e se V è un qualunque intorno di z0 contenuto nel campo di olomorfia U di f, allora f assume in V tutti i valori complessi, eccetto al più uno, un numero infinito di volte.[1][2]
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Filippo Gazzola, Franco Tomarelli e Maurizio Zanotti, Funzioni analitiche di variabile complessa, in Analisi complessa, Trasformate, Equazioni differenziali, 2ª ed., Bologna, Esculapio, 2013, ISBN 978-88-7488-641-8.
- ^ (EN) M. J. Ablowitz e A. E. Fokas, Complex Variables: Introduction And Applications, 2ª ed., Cambridge University Press, 2003, p. 149.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Picard’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Picard, su MathWorld, Wolfram Research.
