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2023年8月31日 (木) 12:25時点における最新版

4の冪（よんのべき、英: power of four, 4^n）は、適当な0以上の整数 n を選べば、4 の n 乗 $4^{n}$ の形に表せる自然数の総称である。

desmosで冪乗のグラフを正の部分だけ描いたもの。
緑-2の冪乗、青-3の冪乗、赤-4の冪乗

平たく言うと4の累乗数（よんのるいじょうすう）である。

25乗までの4の冪（正の冪）

オンライン整数列大辞典の数列 A000302

4の冪
	値
$4^{0}$	1
$4^{1}$	4
$4^{2}$	16
$4^{3}$	64
$4^{4}$	256
$4^{5}$	1024
$4^{6}$	4096
$4^{7}$	16384
$4^{8}$	65536
$4^{9}$	262144
$4^{10}$	1048576
$4^{11}$	4194304
$4^{12}$	16777216
$4^{13}$	67108864
$4^{14}$	268435456
$4^{15}$	1073741824
$4^{16}$	4294967296
$4^{17}$	17179869184
$4^{18}$	68719476736
$4^{19}$	274877906944
$4^{20}$	1099511627776
$4^{21}$	4398046511104
$4^{22}$	17592186044416
$4^{23}$	70368744177664
$4^{24}$	281474976710656
$4^{25}$	1125899906842624

性質

すべての自然数 $n$ に対して $4^{n}-1$ は3の倍数となる。これは、下記の式変形により証明できる。

4^{n}-1=(4-1)\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}4^{k-1}=3\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}4^{k-1}

したがって、すべての自然数

n

に対して

4^{n}-1

は3の倍数であることが示された。

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 {{特筆性|date=2022年7月14日 (木) 12:40 (UTC)}}
-'''4の[[冪]]'''（よんのべき、[[英語|英]]: power of four, 4^n）は、適当な[[自然数]] ''n'' を選べば、[[4]] の ''n'' 乗 4<sup>''n''</sup> の形に表せる自然数の総称である。
+'''4の[[冪]]'''（よんのべき、[[英語|英]]: power of four, 4^n）は、適当な[[0]]以上の[[整数]] ''n'' を選べば、[[4]] の ''n'' 乗 <math>4^n</math> の形に表せる自然数の総称である。
 [[File:2,3,4の冪乗のグラフ.png|300x150px|thumb|desmosで[[冪乗]]のグラフを正の部分だけ描いたもの。<br>緑-2の冪乗、青-3の冪乗、赤-4の冪乗]]
 平たく言うと4'''の[[累乗数]]'''（よんのるいじょうすう）である。
 __FORCETOC__
-== 10乗までの4の冪（正の冪） ==
+== 25乗までの4の冪（正の冪） ==
 <!--4{{sup|0}}[[1]] 4{{sup|1}}[[4]] 4{{sup|2}}[[16]] 4{{sup|3}}[[64]] 4{{sup|4}}[[256]] 4{{sup|5}}[[1024]] 4{{sup|6}}[[4096]] 4{{sup|7}}[[16384]] 4{{sup|8}}[[65536]] 4{{sup|9}}[[262144]] 4{{sup|10}}[[1048576]]・・・-->
 {{OEIS|A000302}}
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 {| class="wikitable"
 |+ 4の冪
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 == 性質 ==
-*<math>4^n-1</math>は、3の倍数となる。これは、数学的帰納法で証明できる。
+* すべての自然数 <math>n</math> に対して <math>4^n-1</math> は[[3]]の[[倍数]]となる。これは、下記の式変形により証明できる。
+: <math>4^n-1 = (4-1)\textstyle\sum\limits_{k=1}^{n} 4^{k-1} = 3\textstyle\sum\limits_{k=1}^{n} 4^{k-1}</math>
+: したがって、すべての自然数 <math>n</math> に対して <math>4^n-1</math> は3の倍数であることが示された。
 == 関連項目 ==
 * [[2の冪]]