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5の累乗数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

5の累乗数(ごのるいじょうすう)は、適当な自然数 n を選べば、5n 乗 5n の形に表せる自然数の総称である。

概説

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5倍を繰り返したり、1 + 1 + 1 + 1 + 1 から始めて答えを5つずつ加え合わせることによって得られる数である。いずれもごく基本的な数量操作であり、様々な場面で用いられる。

指数に負の整数を許すならば、5の冪乗(この場合、それらは自然数ではなく有理数である)の中には「5分の1」の概念も含まれてくる。実際、1 (50), 1/5 (5−1), 1/25 (5−2), 1/125 (5−3), 1/625 (5−4) … というようなものも、5の冪乗として表すことができる有理数である。

40乗までの5の累乗数(正の冪)

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オンライン整数列大辞典の数列 A000351

50 = 1 516 = 152587890625 532 = 23283064365386962890625
51 = 5 517 = 762939453125 533 = 116415321826934814453125
52 = 25 518 = 3814697265625 534 = 582076609134674072265625
53 = 125 519 = 19073486328125 535 = 2910383045673370361328125
54 = 625 520 = 95367431640625 536 = 14551915228366851806640625
55 = 3125 521 = 476837158203125 537 = 72759576141834259033203125
56 = 15625 522 = 2384185791015625 538 = 363797880709171295166015625
57 = 78125 523 = 11920928955078125 539 = 1818989403545856475830078125
58 = 390625 524 = 59604644775390625 540 = 9094947017729282379150390625
59 = 1953125 525 = 298023223876953125
510 = 9765625 526 = 1490116119384765625
511 = 48828125 527 = 7450580596923828125
512 = 244140625 528 = 37252902984619140625
513 = 1220703125 529 = 186264514923095703125
514 = 6103515625 530 = 931322574615478515625
515 = 30517578125 531 = 4656612873077392578125

数量的な性質

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1を5の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の5分の1の数が、累乗数として現れる。

例えば、十進法の位取り(十進数)では、1 を5の累乗数で割っていくと、小数には2の累乗数が現れる。

1 ÷ 5 = 0.2 (21)

1 ÷ 25 = 0.04 (22)

1 ÷ 125 = 0.008 (23)

1 ÷ 625 = 0.0016 (24)

1 ÷ 3125 = 0.00032 (25)

1 ÷ 15625 = 0.000064 (26)

1 ÷ 78125 = 0.0000128 (27)

1 ÷ 390625 = 0.00000256 (28)

1 ÷ 1953125 = 0.000000512 (29)

1 ÷ 9765625 = 0.0000001024 (210)

これらは

より

であることから導かれる。

1以外の5の累乗数を十進法で表したとき、一の位は 5 である。また、1, 5以外の5の累乗数を十進法で表したとき、十の位は 2 、一の位は 5 である。

5m(m ≧ n, n ≧ 2)の下 n 桁は次のようになる。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
25 125 0625 03125 015625 0078125 5078125 00390625,

01953125,

…,

97265625,

98828125

001953125,

009765625,

…,

986328125,

994140625

0009765625,

0048828125,

…,

9931640625

9970703125

625 3125 15625 078125 0390625 5390625
5625 28125 140625 0703125 5703125
8125 40625 203125 1015625 6015625
53125 265625 1328125 6328125
65625 328125 1640625 6640625
78125 390625 1953125 6953125
90625 453125 2265625 7265625
515625 2578125 7578125
578125 2890625 7890625
640625 3203125 8203125
703125 3515625 8515625
765625 3828125 8828125
828125 4140625 9140625
890625 4453125 9453125
953125 4765625 9765625
通り 1 2 4 8 16 32 64 128 256 2n-2

m ≧ n, n ≧ 2 のとき、5m の下 n 桁は 2n-2 通りある。

常用対数との関係

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log10 5 = 0.6989700043…

この値に n をかけて小数点以下を切り上げると 5n が十進数で何桁の整数かわかる。

例えば、

0.6989700043… × 100 = 69.897… なので 5100 は70桁、
0.6989700043… × 256 = 178.936… なので 5256 は179桁の整数となる。

5の累乗和

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5の累乗数の和は、

0, 1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, 12207031, 61035156, 305175781, 1525878906, 7629394531, 38146972656, 190734863281, 953674316406, 4768371582031, 23841857910156, 119209289550781, 596046447753906, 2980232238769531 …(オンライン整数列大辞典の数列 A003463

で、1から 5n(n ≧ 0)までの5の累乗数の和は 5n+1-1/4 に等しい。

これらの数の末尾に25をつけた数(100 × 5の累乗数の和 + 25)は、25以上の5の累乗数である。

その他の性質

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十進法では、下n桁(n ≧ 1)が 5n の倍数であれば、その数は 5n の倍数である。

下n桁が 5n の倍数で、下 n+1 桁が 5n+1 の倍数でなければ、その数の約数で最大の5の累乗数は 5n である。

例 1853070540093840001956842537745897243375

下3桁(375)が 53 (= 125) の倍数で、下4桁(3375)が 54 (= 625) の倍数でないので、この数の約数で最大の5の累乗数は 53 である。

また、階乗 n! の末尾の 0 の数を m とすると、 n! の約数で最大の5の累乗数は 5m である。これは、10 = 2 × 5 で、5 が 2 よりも大きいからである。

例 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 512 である。

階乗 n! の末尾の 0 の数、n! を割り切れる最大の5の累乗数は

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19…(オンライン整数列大辞典の数列 A027868

素数階乗では、1# = 1, 2# = 2, 3# = 6 の約数で最大の5の累乗数は 50 = 1 で、

5# = 30 以上の素数階乗はすべて、最大の5の累乗数の約数は 51 = 5 である。

関連項目

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