コルモゴロフの拡張定理

数学の測度論におけるコルモゴロフの拡張定理（コルモゴロフのかくちょうていり、英: Kolmogorov extension theorem）とは、全ての自然数n に対して、n次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$ のボレル集合体 ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ 上の測度 $m_{n}$ が定義され、その測度列 $(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ が両立条件を満たしている（順に拡張されている）ならば、測度 $m_{n}$ は可算無限直積 $\mathbb {R} ^{\infty }$ 上に一意に拡張できることを述べた定理である。

つまり、自然数n に対して

測度空間 $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),m_{n})$

（$\mathbb {R} ^{n}$ は実数全体からなる集合 n個の直積、${\mathcal {B}}$ はボレル集合体、$m_{n}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow [0,\infty ]$ は測度）

が定義され、両立条件：

$m_{n}(A)=m_{n+k}(A\times \mathbb {R} ^{k})\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),k\in \mathbb {N} )$

を満たしているとき、ある測度 $m:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty })\rightarrow [0,\infty ]$ で、

$m(A\times \mathbb {R} ^{\infty })=m_{n}(A)\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$

を満たすものが一意に存在する。ここで、$A\subset \mathbb {R} ^{n}$ を $\mathbb {R} ^{\infty }$ に埋め込んだ集合 $A\times \mathbb {R} ^{\infty }\subset \mathbb {R} ^{\infty }$ を A の筒集合（柱状集合、英: cylinder set）という。

ロシア（ソビエト）の数学者アンドレイ・コルモゴロフの名に因む。

本定理により、コイントスやさいころを何回も投げるといった反復試行の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。

関連項目

• カラテオドリの拡張定理
• ホップの拡張定理
• 前測度