1/6公式

1/6公式、6分の1公式（ろくぶんのいちこうしき）は、定積分に関する以下の等式である。

$\int _{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)dx=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}$

導出

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)dx&=\int _{\alpha }^{\beta }\left\{x^{2}-\left(\alpha +\beta \right)x+\alpha \beta \right\}dx\\&=\left[{\dfrac {1}{3}}x^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)x^{2}+\alpha \beta x\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\dfrac {1}{3}}\beta ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\alpha ^{2}-\alpha ^{2}\beta \\&={\dfrac {1}{3}}\beta ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\beta ^{3}+\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\beta -\alpha ^{2}\beta \\&=-{\dfrac {1}{6}}\beta ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\beta +{\dfrac {1}{6}}\alpha ^{3}\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\alpha ^{3}\right)\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}$

次のように工夫して計算することもできる。

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)dx&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)\left\{\left(x-\alpha \right)+\left(\alpha -\beta \right)\right\}dx\\&=\int _{\alpha }^{\beta }\left\{\left(x-\alpha \right)^{2}+\left(\alpha -\beta \right)\left(x-\alpha \right)\right\}dx\\&=\left[{\dfrac {1}{3}}\left(x-\alpha \right)^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\beta -\alpha \right)\left(x-\alpha \right)^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\dfrac {1}{3}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}$

また、部分積分を用いて計算することもできる。

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)dx&=\left[{\dfrac {1}{2}}\left(x-\alpha \right)^{2}\left(x-\beta \right)\right]_{\alpha }^{\beta }-\int _{\alpha }^{\beta }{\dfrac {1}{2}}\left(x-\alpha \right)^{2}dx\\&=-\left[{\dfrac {1}{6}}\left(x-\alpha \right)^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}$

利用

放物線と直線で囲まれた図形の面積を素早く求めることができる。

例えば、xy平面上の放物線$y=x^{2}+4x-5$と直線$y=2x-2$で囲まれた図形の面積を求めるためには$\int _{-3}^{1}\left(-x^{2}-2x+3\right)dx$の計算が必要になるが、これを$\int _{-3}^{1}-\left(x+3\right)\left(x-1\right)dx$と変形すると1/6公式により${\dfrac {1}{6}}\left(1+3\right)^{3}={\dfrac {32}{3}}$となり、素早く計算することができる。

また、1/6公式の応用として、

• 放物線$y=ax^{2}+bx+c$と直線の交点のx座標を$\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$とおくと、この放物線と直線で囲まれた部分の面積は${\dfrac {\left|a\right|}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}$と計算できる。

• 放物線$y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}$と$y=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}$の交点のx座標を$\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$とおくと、この2つの放物線で囲まれた部分の面積は${\dfrac {\left|a_{1}-a_{2}\right|}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}$と計算できる。

1/6公式の一般化として、$\int _{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)^{m}\left(\beta -x\right)^{n}dx={\dfrac {m!n!}{\left(m+n+1\right)!}}\left(\beta -\alpha \right)^{m+n+1}$がある。

その他

途中計算の記述が不要であるマークシート試験において、積分計算に使われることがある。

大阪大学の2022年度の文系の数学の入試問題において、1/6公式に似た等式を証明する問題が出題された。