구 기하학 에서, 구 (球, sphere)는 한 점과의 거리 가 같은, '모든 점에서 동일한 거리를 가지는 3차원 공간 위의 점들의 집합'이자 폐곡선으로 둘러싸인 2차원 평면(폐곡면 )이다. '구'라는 이름은 공 이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 공 은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.
데카르트 좌표계 에서는 중심 이 (a , b , c ) 이고 반지름이 r 인 구를
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
+
(
z
−
c
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}}
라는 방정식 으로 나타낼 수 있다. 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π ]φ ∈ [0, π ]
x
=
a
+
r
cos
θ
cos
φ
{\displaystyle x=a+r\cos \theta \cos \varphi }
y
=
b
+
r
sin
θ
cos
φ
{\displaystyle y=b+r\sin \theta \cos \varphi }
z
=
c
+
r
sin
φ
{\displaystyle z=c+r\sin \varphi }
로 표현할 수도 있다.
원의 방정식
x
2
+
y
2
=
r
2
,
(
y
≥
0
)
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},(y\geq 0)}
원의 방정식을
y
≥
0
{\displaystyle y\geq 0}
y
=
r
2
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.
V
=
∫
0
r
A
(
x
)
d
x
{\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx}
단면적 함수 A(x)는 함수
y
=
r
2
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
π
{\displaystyle \pi }
A
(
x
)
=
π
(
r
2
−
x
2
)
{\displaystyle A(x)=\pi (r^{2}-x^{2})}
따라서
V
=
∫
0
r
A
(
x
)
d
x
=
∫
0
r
π
(
r
2
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}
=
[
π
r
2
x
]
0
r
−
[
π
1
3
x
3
]
0
r
=
π
r
3
−
1
3
π
r
3
=
2
3
π
r
3
{\displaystyle =[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}
구의 부피는
2
V
{\displaystyle 2V}
r
{\displaystyle r}
부피 는
4
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
1사분면 위의 원
y
=
r
2
−
x
2
(
x
≥
0
)
{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}(x\geq 0)}
V
=
∫
0
r
2
π
x
r
2
−
x
2
d
x
{\displaystyle V=\int _{0}^{r}2\pi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx}
=
−
2
3
π
[
(
r
2
−
x
2
)
3
2
]
0
r
=
−
2
3
π
(
0
−
r
3
)
=
2
3
π
r
3
{\displaystyle =-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}
따라서 구의 부피는
2
V
=
4
3
π
r
3
{\displaystyle 2V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
원의 방정식
x
2
+
y
2
=
r
2
(
y
≥
0
)
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}(y\geq 0)}
y
=
r
2
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
y
=
f
(
x
)
=
r
2
−
x
2
{\displaystyle y=f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
먼저, 질량 중심 좌표
(
x
¯
,
y
¯
)
{\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}
함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
y
¯
=
1
2
(
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
d
x
)
1
2
π
r
2
=
(
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
d
x
)
π
r
2
{\displaystyle {\bar {y}}={\frac {{\frac {1}{2}}(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{{\frac {1}{2}}\pi r^{2}}}={\frac {(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{\pi r^{2}}}}
=
4
r
3
3
π
r
2
=
4
r
3
π
{\displaystyle ={\frac {\frac {4r^{3}}{3}}{\pi r^{2}}}={\frac {4r}{3\pi }}}
질량 중심 좌표
(
x
¯
,
y
¯
)
=
(
0
,
4
r
3
π
)
{\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})=(0,{\frac {4r}{3\pi }})}
파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는
V
=
2
π
y
¯
A
{\displaystyle V=2\pi {\bar {y}}\mathrm {A} }
V
=
2
π
⋅
4
r
3
π
⋅
1
2
π
r
2
=
4
3
π
r
3
{\displaystyle V=2\pi \cdot {\frac {4r}{3\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\pi r^{2}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
따라서 구의 부피는
4
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
밑면의 반지름이
r
{\displaystyle r}
4
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
밑면의 반지름이
r
{\displaystyle r}
h
{\displaystyle h}
원뿔 과 원기둥 의 부피는 각각
1
3
π
r
2
h
{\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}
π
r
2
h
{\displaystyle \pi r^{2}h}
h
=
2
r
{\displaystyle h=2r}
2
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}
2
π
r
3
{\displaystyle 2\pi r^{3}}
따라서, 한 변의 길이가
2
r
{\displaystyle 2r}
정육면체 에 내접 하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는
2
3
π
r
3
:
4
3
π
r
3
:
2
π
r
3
=
1
:
2
:
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}:2\pi r^{3}=1:2:3}
밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.
그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.
1
3
π
r
3
:
4
3
π
r
3
=
π
r
2
:
S
{\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{2}:S}
따라서 겉넓이
S
=
4
π
r
2
{\displaystyle S=4\pi r^{2}}
구의 정의를 확장하여
n
{\displaystyle n}
구 를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원 , 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.
수학적으로는 이러한 일반적인 구를
S
n
{\displaystyle S^{n}}
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
유클리드 공간 에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라
S
1
{\displaystyle S^{1}}
S
2
{\displaystyle S^{2}}
.png)
![{\displaystyle =[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbadc004436266f2791a68627bb61d3f38527b95)
![{\displaystyle =-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011b10672f952287eca3c1ba1c27a4b2a1eb703f)
