내적 공간

내적은 여기로 연결됩니다. 유클리드 공간 위 내적에 대해서는 스칼라곱 문서를 참고하십시오.

내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석

선형대수학과 함수해석학에서 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$\mathbb {K}$-벡터 공간 $V$ 위의 내적(內積, 영어: inner product)은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. (실수의 경우 이는 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수

$\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {K}$

$\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle$

이다.

• (양의 정부호성) 임의의 $0\neq v\in V$에 대하여, $\langle v,v\rangle >0$
• (에르미트성) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $\langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}$
• (왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in \mathbb {K}$ 및 $u,v,w\in V$에 대하여, $\langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle$

이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.

• (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 $a,b\in \mathbb {K}$ 및 $u,v,w\in V$에 대하여, $\langle w,au+bv\rangle ={\bar {a}}\langle w,u\rangle +{\bar {b}}\langle w,v\rangle$

내적이 주어진 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$을 $\mathbb {K}$-내적 공간이라고 한다. 특히 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$인 경우, 즉 복소수체 위의 내적 공간은 유니터리 공간(영어: unitary space)이라고 부르기도 한다.

성질

노름 구조

$\mathbb {K}$-내적 공간 $V$ 위에 자연스러운 $\mathbb {K}$-노름 공간 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.

$\Vert v\Vert ={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$

증명:

노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 $u,v\in V$에 대하여,

${\begin{aligned}\Vert u+v\Vert ^{2}&=\Vert u\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\Vert v\Vert ^{2}\\&\leq \Vert u\Vert ^{2}+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert +\Vert v\Vert ^{2}\\&=(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert )^{2}\end{aligned}}$

이므로,

$\Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$

반대로, $\mathbb {K}$-노름 공간이 $\mathbb {K}$-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행 사변형 법칙

$2\Vert u\Vert ^{2}+2\Vert v\Vert ^{2}=\Vert u+v\Vert ^{2}+\Vert u-v\Vert ^{2}\qquad \forall u,v\in V$

이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 극화 항등식(極化恒等式, 영어: polarization identity)이라고 한다.

$\langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\Vert u+v\Vert ^{2}-{\frac {1}{4}}\Vert u-v\Vert ^{2}&\mathbb {K} =\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\Vert u+v\Vert ^{2}-{\frac {1}{4}}\Vert u-v\Vert ^{2}+{\frac {i}{4}}\Vert u+iv\Vert ^{2}-{\frac {i}{4}}\Vert u-iv\Vert ^{2}&\mathbb {K} =\mathbb {C} \end{cases}}$

증명:

실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다.

$\langle v,v\rangle >0\qquad \forall 0\neq v\in V$

$\langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle \qquad \forall u,v\in V$

$\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle \qquad \forall u,v,w\in V$

$\langle au,v\rangle =a\langle u,v\rangle \qquad \forall a\in \mathbb {R} ,\;u,v\in V$

첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다.

${\begin{aligned}\langle u+v,w\rangle &={\frac {1}{4}}(\Vert u+v+w\Vert ^{2}-\Vert u+v-w\Vert ^{2})\\&={\frac {1}{4}}\left(\Vert u+w\Vert ^{2}+\Vert v+w\Vert ^{2}+\Vert u\Vert ^{2}+\Vert v\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert u-v+w\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert v-u+w\Vert ^{2}\right)\\&\qquad -{\frac {1}{4}}\left(\Vert u-w\Vert ^{2}+\Vert v-w\Vert ^{2}+\Vert u\Vert ^{2}+\Vert v\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert u-v-w\Vert ^{2}-{\frac {1}{2}}\Vert v-u-w\Vert ^{2}\right)\\&={\frac {1}{4}}(\Vert u+w\Vert ^{2}-\Vert u-v\Vert ^{2})-{\frac {1}{4}}(\Vert v+w\Vert ^{2}-\Vert v-w\Vert ^{2})\\&=\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle \end{aligned}}$

넷째 조건의 $a\in \mathbb {N}$의 경우는 다음과 같이 증명된다.

$\langle au,v\rangle =\langle \underbrace {u+\cdots +u} _{a},v\rangle =\underbrace {\langle u,v\rangle +\cdots +\langle u,v\rangle } _{a}=a\langle u,v\rangle$

또한, $a\in \mathbb {Z}$일 경우의 증명은 다음과 같다.

$0=\langle 0,v\rangle =\langle au-au,v\rangle =\langle au,v\rangle +\langle -au,v\rangle =\langle au,v\rangle -a\langle u,v\rangle$

만약 $a\in \mathbb {Q}$일 경우, $a=p/q$ ($p,q\in \mathbb {Z} ,\;q\neq 0$)이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다.

$q\langle au,v\rangle =\langle qau,v\rangle =\langle pu,v\rangle =p\langle u,v\rangle$

마지막으로, $a\in \mathbb {R}$일 경우는 $u,v\in V$를 고정하였을 때 $a\mapsto \langle au,v\rangle -a\langle u,v\rangle$가 연속 함수임에 따라 성립한다.

코시-슈바르츠 부등식

 이 부분의 본문은 코시-슈바르츠 부등식입니다.

내적 공간 $V$의 벡터 $v\in V$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 코시-슈바르츠 부등식이라고 한다.

$|\langle u,v\rangle |\leq \Vert u\Vert \Vert v\Vert$

$|\langle u,v\rangle |=\Vert u\Vert \Vert v\Vert \iff \operatorname {rank} \{u,v\}<2$

이에 따라, 두 벡터 $u,v\in V$ 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\arccos {\frac {\operatorname {Re} \langle u,v\rangle }{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }}$

또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.

정규 직교 기저

힐베르트 공간의 개념에 대해서는 정규 직교 기저 문서를 참고하십시오.

내적 공간 $V$의 정규 직교 기저(正規直交基底, 영어: orthonormal basis)는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 기저이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 $B\subseteq V$이다.

• (직교성) 만약 $e,e'\in B$이며 $e\neq e'$라면, $\langle e,e'\rangle =0$
• (정규성) 임의의 $e\in B$에 대하여, $\Vert e\Vert =1$

유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 그람-슈미트 과정을 통해 구성할 수 있다.

내적 공간 $V$의 벡터 $v\in V$의 정규 직교 기저 $B$에 대한 좌표는 다음과 같다.

$v=\sum _{e\in B}\langle v,e\rangle e$

또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\langle u,v\rangle =\sum _{e\in B}\langle u,e\rangle {\overline {\langle v,e\rangle }}$

내적 공간 $V$ 속의 유한 정규 직교 집합 $S\subseteq V\setminus \{0\}$ 및 벡터 $v\in V$에 대하여, 베셀 부등식과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$\sum _{e\in S}|\langle v,e\rangle |^{2}\leq \Vert v\Vert ^{2}$

$\sum _{e\in S}|\langle v,e\rangle |^{2}=\Vert v\Vert ^{2}\iff v=\sum _{e\in S}\langle v,e\rangle e$

선형 범함수

유한 차원 내적 공간 $V$의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 $v\in V$와의 내적

$V\to \mathbb {K}$

$u\mapsto \langle u,v\rangle$

이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 $B\subseteq V$가 주어졌을 때, 선형 범함수 $f\colon V\to F$를 나타내는 벡터는 다음과 같다.

$v=\sum _{e\in B}{\overline {f(e)}}e$

이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 $T\colon V\to V$의 수반 선형 변환 $T^{*}\colon V\to V$은 다음과 같이 항상 존재한다.

$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle \qquad \forall u,v\in V$

그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 $\mathbb {C} [x]$에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$\langle p,q\rangle =\int _{a}^{b}p(x){\overline {q(x)}}dx=\sum _{k=0}^{\deg p}\sum _{k'=0}^{\deg q}{\frac {p_{k}{\overline {q_{k'}}}}{k+k'+1}}$

이 경우, 임의의 $c\in \mathbb {C}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.

$\mathbb {C} [x]\to \mathbb {C}$

$p\mapsto p(c)$

또한 미분 선형 변환

$D\colon \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [x]$

$D\colon x^{n}\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots$

의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.

예

유한 차원 벡터 공간 위의 내적

$n$차원 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $\mathbb {K} ^{n}$ 위의 표준적인 내적은 다음과 같다.

$\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\overline {y_{k}}}$

$\mathbb {K} =\mathbb {R}$일 때, $\mathbb {R} ^{n}$은 유클리드 공간이며, 이 내적은 스칼라곱이라고 부른다. 이 경우 실수의 켤레 복소수는 스스로와 일치한다 (${\overline {y_{k}}}=y_{k}$). 이 내적이 유도하는 노름은 L² 노름이다. 그러나 $p\neq 2$의 경우, L^p 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.

특히, $n=1$인 경우 $\mathbb {K}$는 1차원 벡터 공간이며, 위 내적은 단순히

$\langle x,y\rangle =x{\overline {y}}$

이다.

마찬가지로, 실수 또는 복소수 성분 행렬들의 집합 $\operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {K} )$은 $mn$차원 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$\langle X,Y\rangle =\operatorname {tr} (X^{\dagger }{\bar {Y}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}X_{ij}{\overline {Y_{ij}}}$

이를 프로베니우스 내적이라고 한다.

보다 일반적으로, 양의 정부호 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {K} )$에 대하여, $\mathbb {K} ^{n}$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$\langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }M{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}M_{ij}x_{i}{\overline {y_{j}}}$

함수 공간

연속 함수의 공간 ${\mathcal {C}}([a,b];\mathbb {K} )$에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx$

여기서 우변의 적분은 리만 적분이다. 또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}x^{2}f(x){\overline {g(x)}}dx$

가측 함수 $(\Omega ,\Sigma ,\mu )\to \mathbb {K}$들의 (거의 어디서나 같음에 대한) 동치류들로 구성된 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $\operatorname {L} ^{2}(\Omega ;\mathbb {K} )$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f{\overline {g}}d\mu$

여기서 우변은 르베그 적분이다. 이를 L² 공간이라고 한다. 특히, $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$가 확률 공간일 때, $\operatorname {L} ^{2}(\Omega ;\mathbb {K} )$은 확률 변수들의 동치류들로 이루어지며, 적분은 기댓값이다. 따라서, 두 확률 변수 $X,Y\colon \Omega \to \mathbb {K}$의 내적은 다음과 같다.

$\langle X,Y\rangle =\operatorname {E} (X{\overline {Y}})$

가측 함수나 확률 변수의 동치류를 취하는 것은 내적을 양의 정부호적이게 만들기 위함이다. 예를 들어, $\langle X,X\rangle =0$일 필요충분조건은 거의 확실하게 $X=0$인 것이다 ($\mu (X=0)=1$). 따라서, 스스로와의 내적이 0인 경우가 0밖에 없으려면 거의 어디서나 같은 함수들을 하나의 동치류로 뭉뚱그려야 한다.

같이 보기

• 벡터곱
• 외대수
• 쌍선형 형식
• 쌍대공간

참고 문헌

• Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크

• “Inner product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Inner product space”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Inner product”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Inner product space”. 《nLab》 (영어). 
• “Norms Induced by Inner Products and the Parallelogram Law”. 《Stack Exchange》 (영어). 2018년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 2월 2일에 확인함.