라플라스 변환 (Laplace transform )은 어떠한 함수
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
선형 동역학계 와 같은 미분 방정식 을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스 의 이름을 따 붙여졌다.
라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.
함수
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
[ 1]
F
(
s
)
=
L
{
f
}
(
s
)
=
∫
0
−
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
여기서
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
lim
ϵ
→
0
+
−
ϵ
{\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0+}-\epsilon }
s
=
σ
+
i
ω
{\displaystyle s=\sigma +i\omega \,}
실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만
F
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
L
{
a
f
(
t
)
+
b
g
(
t
)
}
=
a
L
{
f
(
t
)
}
+
b
L
{
g
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
L
{
f
′
}
=
s
L
{
f
}
−
f
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)}
L
{
f
″
}
=
s
2
L
{
f
}
−
s
f
(
0
)
−
f
′
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)}
L
{
f
(
n
)
}
=
s
n
L
{
f
}
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}
L
{
t
f
(
t
)
}
=
−
F
′
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)}
L
{
t
n
f
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
F
(
n
)
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)}
L
{
f
(
t
)
t
}
=
∫
s
∞
F
(
σ
)
d
σ
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma }
L
{
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
}
=
L
{
u
(
t
)
∗
f
(
t
)
}
=
1
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)}
L
{
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
}
=
e
−
a
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)}
L
−
1
{
e
−
a
s
F
(
s
)
}
=
f
(
t
−
a
)
u
(
t
−
a
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)}
참고:
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
층계 함수 이다.
L
{
f
∗
g
}
=
L
{
f
}
L
{
g
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}}
L
{
f
}
=
1
1
−
e
−
p
s
∫
0
p
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt}
함수
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
=
1
2
π
i
∫
a
−
i
∞
a
+
i
∞
F
(
s
)
e
s
t
d
s
,
i
=
−
1
.
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }F(s)e^{st}\,ds,\quad i={\sqrt {-1}}.}
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어
F
(
s
)
=
1
s
2
+
3
s
+
2
,
{\displaystyle F(s)={\frac {1}{s^{2}+3s+2}},}
로
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
부분분수 분해 를 통해
F
(
s
)
=
1
s
2
+
3
s
+
2
=
1
s
+
1
−
1
s
+
2
,
{\displaystyle F(s)={\frac {1}{s^{2}+3s+2}}={\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}},}
를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성 으로부터
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
=
L
−
1
{
1
s
+
1
}
−
L
−
1
{
1
s
+
2
}
=
e
−
t
−
e
−
2
t
,
t
≥
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+1}}\right\}-{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s+2}}\right\}\\&=e^{-t}-e^{-2t},\quad t\geq 0.\end{aligned}}}
다음과 같은
n
{\displaystyle n}
상미분 방정식 을 고려하자
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
.
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t).}
양변에 라플라스 변환을 취하면
s
X
(
s
)
−
x
(
0
)
=
A
X
(
s
)
+
B
U
(
s
)
,
{\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s),}
이고 이를
X
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {X} (s)}
X
(
s
)
=
(
s
I
−
A
)
−
1
x
(
0
)
+
(
s
I
−
A
)
−
1
B
U
(
s
)
,
{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s),}
이다. 따라서,
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
[ 2]
x
(
t
)
=
exp
[
A
t
]
x
(
0
)
+
∫
0
t
exp
[
A
(
t
−
τ
)
]
B
u
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\exp \left[\mathbf {A} t\right]\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\exp \left[\mathbf {A} (t-\tau )\right]\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,d\tau .}
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\exp \left[\mathbf {A} t\right]\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\exp \left[\mathbf {A} (t-\tau )\right]\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dade6c96a300a191beb4b7f9330ff317a30be156)
