연속 쌍대 공간

함수해석학에서 연속 쌍대 공간(連續雙對空間, 영어: continuous dual space)은 주어진 위상 벡터 공간 위의 연속 선형 범함수들로 구성된 벡터 공간이다. 그 위에 다양한 위상을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) 쌍대 공간과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다.

정의

위상환 $K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V$의 연속 쌍대 가군(連續雙對加群, 영어: continuous dual module) $V^{*}$는 쌍대 가군

$V^{\vee }=\hom(_{K}V,_{K}K)$

가운데, 연속 함수 $f\colon V\to K$를 이루는 것들의 부분 집합이다.^{:48, §II.4:129, §V.1} 이는 자연스럽게 $K$-위상 오른쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 위상 왼쪽 가군을 이룬다.

만약 $K$가 위상체라면, 그 위의 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 가군은 연속 쌍대 공간이라고 한다.

연속 쌍대 공간 위에는 흔히 강한 위상과 약한-* 위상이라는 두 위상이 사용된다.

• 강한 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 (유계 집합에 제한되었을 때) 균등 연속 함수를 이룬다.
• 약한-* 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 연속 함수를 이룬다.

보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다.

만약 어떤 위상 벡터 공간 $V$가 어떤 위상 벡터 공간 $W$의 (강한 위상을 부여한) 연속 쌍대 공간 $W'$과 동형이라면, $W$를 $V$의 원쌍대 공간(原雙對空間, 영어: predual space)이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다.

강한 위상

위상환 $K$은 (덧셈에 대하여 아벨 위상군이므로) 자연스럽게 균등 공간을 이룬다.

$V$의 유계 집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $B\subseteq V$이다.

• 임의의 $0\in V$의 근방 $N\ni 0$에 대하여, $B\subseteq \alpha N$이 되는 $\alpha \in K$가 존재한다.

$V$의 유계 집합들의 족 $\operatorname {Born} (V)$은 $V$의 덮개를 이룬다.

그렇다면, 덮개 $\operatorname {Born} (V)$에 대한, 함수 공간 $K^{V}$ 위의 균등 수렴 위상을 정의할 수 있다. 연속 쌍대 가군 $V^{*}$ 위의 강한 위상은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합 $B\subseteq V$에 제한하였을 때 그 원소들 $\{\phi \upharpoonright B\colon \phi \in V^{*}\}$이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다.

만약 $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$이며 $V$가 노름 공간이라면, $V^{*}$ 위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다.

약한-* 위상

연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 약한-* 위상(弱한-* 位相, 영어: weak-* topology, "약한-스타 위상"으로 읽음)을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 약한 위상과 구별하기 위한 것이다.)

구체적으로, 위상환 $K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상

$\iota \colon V\to V^{**}$

$\iota \colon v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))$

을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 $V^{*}$ 위의 약한-* 위상은 범함수족 $\{\iota (v)\colon v\in V\}$로 생성되는 시작 위상이다. 즉, 구체적으로 모든 열린집합 $U\subset K$와 모든 $v\in V$에 대하여

$v^{-1}(U)=\{\phi \in V^{\vee }\colon \phi (v)\in U\}\subset V^{\vee }$

꼴의 집합들을 부분 기저로 한다.

약한-* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다.

쌍대 노름

만약 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$이며, $(V,\|\|_{V})$가 $\mathbb {K}$-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, $V^{*}$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

$\|\phi \|_{V^{*}}=\sup _{\scriptstyle v\in V \atop \scriptstyle \|v\|_{V}\leq 1}|\phi (v)|$

이를 쌍대 노름(雙對norm, 영어: dual norm)이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다.

이에 따라, $(V^{*},\|\|_{V^{*}})$은 항상 바나흐 공간을 이룬다.

성질

대수적 쌍대 공간과의 관계

일반적으로 위상환 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다.

즉, 임의의 위상환 $K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) 쌍대 가군 $V^{\vee }$으로 가는, 다음과 같은 표준적 단사 $K$-선형 변환이 존재한다.

$V^{*}\to V^{\vee }$

그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다.

분해 가능성

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$에 대하여, $\mathbb {K}$-노름 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 만약 $V^{*}$이 (쌍대 노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이라면, $V$ 역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 르베그 공간 $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$는 분해 가능 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이지만, 그 연속 쌍대 공간 $\ell ^{\infty }(\mathbb {K} )$는 분해 가능 공간이 아닌 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이다.

제한 사상

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$에 대하여, $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $V$와 그 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상

$(\upharpoonright W)\colon V^{*}\mapsto W^{*}$

$(\upharpoonright W)\colon \phi \mapsto \phi \upharpoonright W$

이 존재한다. 이는 선형 변환이다.

만약 $V$가 추가로 $\mathbb {K}$-국소 볼록 공간이라면, $(\upharpoonright W)$는 전사 함수이다.^{:129, Theorem V.3}

이중 연속 쌍대 공간

임의의 위상환 $K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_{K}V$에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다.

$V\to V^{**}$

$v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))$

만약 $V$가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다.

만약 $V$가 노름 공간이라면, 이 사상은 한-바나흐 정리에 따라서 등거리 변환이다 (그러나 전단사 함수가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면, $V$를 반사 바나흐 공간(反射Banach空間, 영어: reflexive Banach space)이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)

바나흐-앨러오글루 정리

바나흐-앨러오글루 정리(-定理, 영어: Banach–Alaoglu theorem)에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상 아래 콤팩트 집합이다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
• $\mathbb {K}$-위상 쌍대 공간 $V$
• $0\in V$의 근방 $0\in N\subseteq V$

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

• $V$의 연속 쌍대 공간 $V^{*}$. 이 역시 $\mathbb {K}$-노름 공간을 이룬다.
• 집합 $N^{\circ }=\{\phi \in V^{*}\colon \forall v\in N\colon |\phi (v)|\leq 1\}\subseteq V^{*}$.
• $V^{*}$ 위에는 쌍대 노름에 대한 거리 위상 대신 약한-* 위상을 부여할 수 있다.

바나흐-앨러오글루-부르바키 정리(-定理, 영어: Banach–Alaoglu–Bourbaki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $N^{\circ }$에 약한-* 위상을 부여했을 때, 이는 콤팩트 공간을 이룬다.

증명:

다음 위상 공간을 정의하자.

$D=\prod _{v\in N}\{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}$

절댓값이 1 이하인 스칼라들의 공간 $\{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}$은 콤팩트 공간이다. 티호노프 정리에 따라서, 그 곱공간 $D$ 역시 콤팩트 공간이다.

이제, $N^{\circ }$는 다음과 같이 $D$의 부분 집합으로 여겨질 수 있다.

$\iota \colon N^{\circ }\to D$

$\iota \colon \phi \mapsto (\phi (v))_{v\in N}$

즉,

• $\iota$는 단사 함수이다. (이는 $N$이 $0\in V$의 근방이기 때문이다.)
• $N^{\circ }$에 약한-* 위상을 부여한다면, $\iota$는 연속 함수이며, 또한 그 정의역과 치역 사이의 위상 동형을 정의한다. (이는 약한-* 위상의 정의에 의한 것이다.)

이제, $\iota$의 치역이 닫힌집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 그물

$I\to N^{\circ }$

$i\mapsto \phi _{i}$

의 $\iota$에 대한 상이 극한

$\lim _{i\in I}(\phi _{i}(v))_{v\in N}\to (\alpha _{v})_{v\in N}$

을 갖는다면, 이는 (곱위상의 정의에 따라) 대하여 점별 수렴

$\forall v\in N\colon \lim _{i\in I}\phi _{i}(v)=\alpha _{v}$

인 것과 동치이며, 이 경우

$v\mapsto \lim _{i\in I}\phi _{i}(v)\in \mathbb {K}$

는 $\mathbb {K}$-선형 변환이며, (약한-* 위상의 정의에 따라) 그물 $(\phi _{i})_{i\in I}$의 약한-* 위상에 대한 극한이다.

그 특수한 경우로, 만약 $V$가 $\mathbb {K}$-노름 공간이며,

$N=\{v\in V\colon \|v\|_{V}\leq 1\}$

이 그 속의 단위 닫힌 공이라고 할 때,

$N^{\circ }=\{\phi \in V^{*}\colon \|\phi \|_{V^{*}}\leq 1\}$

은 $V^{*}$의 단위 닫힌 공이다. 이에 따라, 노름 공간의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다. 이 특수한 경우를 바나흐-앨러오글루 정리라고 한다.

바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.

골드스틴 정리

임의의 $\mathbb {K}$-노름 공간 $(V,\|\|_{V})$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상

$\iota \colon V\to V^{**}$

을 생각하자. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로, 이 경우, $V$의 단위 닫힌 공

$\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))$

의 상은 $V^{**}$의 단위 닫힌 공

$\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V^{**}}(0,1))$

의 부분 집합이다. 이제, $V^{**}$에 약한-* 위상을 부여했을 때, $\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))$는 $\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V^{**}}(0,1))$의 조밀 집합이다 (골드스틴 정리 -定理, 영어: Goldstine theorem).

그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다.

반례:

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자. $\mathbb {K}$계수 영 수렴 수열 공간 $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$의 연속 쌍대 공간은 $\mathbb {K}$-계수 1-르베그 공간 $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$이며, $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$의 연속 쌍대 공간은 $\mathbb {K}$계수 ∞-르베그 공간 $\ell ^{\infty }(\mathbb {K} )$이다.

이제, $\operatorname {\ell } ^{0}(\mathbb {K} )$의 닫힌 단위 공 $\operatorname {ball} _{\operatorname {\ell } ^{\infty }(\mathbb {K} )}(0,1)$은 집합으로서 곱집합 $\{\alpha \in \mathbb {K} \colon |\alpha |\leq 1\}^{\mathbb {N} }$ (즉, 모든 성분의 절댓값이 1 이하인 $\mathbb {K}$-수열)이며, $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$의 닫힌 단위 공 $\operatorname {ball} _{\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}(0,1)$은 그 속에서 0으로 수렴하는 $\mathbb {K}$-수열들로 구성된 부분 집합이다. 이 경우, (예를 들어) 0이 아닌 다른 값 $r$로 수렴하는 수열

$\alpha =(\alpha _{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \operatorname {ball} _{\operatorname {\ell } ^{0}(\mathbb {K} )}(0,1)$

에 대하여, 반지름 $r$의 열린 공

$\operatorname {ball} _{\ell ^{0}(\mathbb {C} )}(\alpha ,r)$

는 $\operatorname {ball} _{\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}(0,1)$와 겹치지 않는다.

예

유클리드 공간

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$이고, $V=\mathbb {K} ^{n}$이 (곱위상을 갖춘) 유한 차원 위상 벡터 공간이라면, $V$의 연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간과 $K$-벡터 공간으로서 같다.

그러나 예를 들어 $V$가 무한 차원 힐베르트 공간이라면 $V$의 대수적 쌍대 공간은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다.

수열 공간

 이 부분의 본문은 르베그 공간입니다.

다음과 같은 르베그 공간을 생각하자.

$\ell ^{p}(\mathbb {C} )=\operatorname {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )=\left\{(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}<\infty \right\}$

이 경우, 노름

$\|a\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}}}$

을 부여하면 이는 $1<p<\infty$에 대하여 바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 만약 $1/p+1/q=1$이라면, $\ell ^{p}(\mathbb {C} )$의 연속 쌍대 공간은 $\ell ^{q}(\mathbb {C} )$이다.

또한, $\ell ^{1}(\mathbb {C} )$의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간

$\ell ^{\infty }(\mathbb {C} )=\left\{(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }\colon \sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|<\infty \right\}$

이다.

수렴 수열 공간

 이 부분의 본문은 수렴 수열 공간입니다.

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 정의할 수 있다.

• 수렴 수열 공간 $\operatorname {c} (\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-수열 가운데 수렴하는 것들의 공간이다.
• 영 수렴 수열 공간 $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-수열 가운데 0으로 수렴하는 것들의 공간이다.

두 경우 다 부여되는 노름은 ∞-노름 $\textstyle \|a\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|a_{i}|$이다.

이 경우, $\operatorname {c} (\mathbb {K} )$의 연속 쌍대 공간과 $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$의 연속 쌍대 공간 둘 다 1-르베그 공간 $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$이다. 그러나 $\operatorname {c} (\mathbb {K} )$와 $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$는 서로 ($\mathbb {K}$-바나흐 공간으로서) 동형이 아니다.

쌍대 내적 공간

내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 (리스 표현 정리 Riesz表現定理, 영어: Riesz representation theorem).

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
• $\mathbb {K}$-내적 공간 $(V,\langle -,-\rangle _{V})$

그렇다면, $V$의 연속 쌍대 공간 $V^{*}$은 $\mathbb {K}$-노름 공간이다. 이 경우, $V^{*}$은 항상 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

$\iota \colon V\to V^{*}$

$\iota \colon v\mapsto \langle v,-\rangle$

리스 표현 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

• $\mathbb {R}$-선형 변환이며, 만약 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$일 경우, 추가로 반선형 변환이다. 즉, $\forall \lambda \in \mathbb {C} \colon \iota (\lambda v)={\bar {\lambda }}\iota (v)$이다.
• 단사 함수이다.
• ($V^{*}$의 쌍대 노름에 대하여) 등거리 변환이다.
• $\iota$의 치역은 ($V^{*}$의 쌍대 노름에 대하여) $V^{*}$의 조밀 집합이다. 이에 따라, $V$의 내적을 $V^{*}$ 위에 연속적으로 연장할 수 있다.

  $\langle \lim _{i}u_{i},\lim _{j}v_{j}\rangle _{V^{*}}=\lim _{i,j}\langle u_{i},v_{i}\rangle$

• 이에 따라 $V^{*}$은 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간을 이루며, $V$는 그 조밀 집합이다.
• 특히, $V$가 이미 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간일 때, $\iota$는 전단사 함수이며, $\iota$는 스스로의 연속 쌍대 공간과의 반동형 사상(反同型寫像, 영어: anti-isomorphism)을 이룬다. (물론, 만약 $K=\mathbb {R}$라면 이는 동형 사상이다.)

특히, $\mathbb {K}$-힐베르트 공간은 항상 $\mathbb {K}$-반사 바나흐 공간이다.

연속 쌍대 공간이 자명한 위상 벡터 공간

만약 $V$가 국소 볼록 공간이라면, 이중 연속 쌍대 공간으로의 표준적 사상 $V\to V^{**}$은 단사 함수이며, 따라서 만약 $V\neq \{0\}$라면 $V^{*}\neq \{0\}$이다. 그러나 국소 볼록 공간 조건을 가정하지 않으면, $V\neq \{0\}$이지만 $V^{*}=\{0\}$일 수 있다.

구체적으로, $0<p<1$이라고 하자. 그렇다면, 구간 위의 $p$-르베그 공간 $\operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )$의 연속 쌍대 공간은 자명하다.^{:816, Theorem 1}

$\operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )^{*}=\{0\}$

증명:

실수 선형 변환

$\phi \colon \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$

가 $\phi \neq 0$이라고 하자. $\phi$가 연속 함수가 아님을 보이면 족하다. 특히,

$\|\phi (f_{i})\|_{p}\geq 1\qquad \forall i\in \mathbb {N}$

$\|f_{i}\|_{p}=2^{(p-1)i}\|f_{0}\|_{p}$

이 되는 코시 함수열

$f_{0},f_{1},f_{2},\ldots \in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )$

을 찾으면,

$f_{i}\to 0$

$\phi (f_{i})\not \to 0$

이므로 족하다. 이러한 함수열을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

우선, $\phi \neq 0$이므로 정의에 따라 $\phi (f_{0})\geq 1$인 $f_{0}\in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )$를 찾을 수 있다.

이제, 만약 $f_{i}\in \operatorname {L} ^{p}([0,1];\mathbb {R} )$가 주어졌으면, 다음과 같은 함수를 생각하자.

$[0,1]\mapsto \mathbb {R}$

$t\mapsto \int _{0}^{t}|f_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x$

이는 연속 함수이다. 따라서, 중간값 정리에 따라

$\int _{0}^{t_{i}}|f_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}|f_{i}(x)|^{p}\,\mathrm {d} x$

인 $0\leq t_{i}\leq 1$이 존재한다. 이제,

$g_{i}=2\chi _{[0,t_{i}]}f$

$h_{i}=2\chi _{[t_{i},1]}f$

를 정의하자 ($\chi$는 지시 함수). 이제

$f_{i+1}={\begin{cases}g_{i}&|\phi (g_{i})|\geq |\phi (h_{i})|\\h_{i}&|\phi (g_{i})|<|\phi (h_{i})|\end{cases}}$

를 정의하자. 그렇다면, 삼각 부등식에 따라

$1\leq |\phi (f_{i})|={\frac {1}{2}}|\phi (g_{i})+\phi (h_{i})|\leq {\frac {1}{2}}(|\phi (g_{i})|+|\phi (h_{i})|)\leq \max \left\{|\phi (g_{i})|,|\phi (h_{i})|\right\}$

이다. 또한 (편의상 $f_{i+1}=g_{i}$라고 하면)

$\|f_{i+1}\|_{p}=\int _{0}^{1}|f_{i+1}|^{p}=\int _{0}^{t_{i}}|2f_{i}|^{p}=2^{p}\int _{0}^{t_{i}}|f_{i}|^{p}=2^{p-1}\int _{0}^{1}|f_{i}|^{p}=2^{p-1}\|f_{i}\|_{p}$

이다. ($f_{i+1}=h_{i}$인 경우도 마찬가지다.)

따라서 함수열 $f_{i}$는 필요한 조건들을 만족시킨다.

콤팩트 공간 위의 함수

콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주를 $\operatorname {CompHaus}$라고 표기하고, 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주를 $\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$로 표기하자.

그렇다면, 다음과 같은 함자들이 존재한다.

${\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }$

${\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon V\mapsto {\mathcal {C}}(V;\mathbb {R} )$

${\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )\colon (f\colon X\to Y)\mapsto (g\in {\mathcal {C}}(Y;\mathbb {R} )\mapsto f\circ g)$

$(-)^{*}\colon \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$

$(-)^{*}\colon V\mapsto V^{*}$

$(-)^{*}\colon (T\colon V\to W)\mapsto (T^{*}\colon W^{*}\to V^{*})$

여기서 연속 쌍대 공간 $(-)^{*}$에는 강한 위상을 부여한다.

이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

$M\colon \operatorname {CompHaus} \to \operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, $M(X)$는 $X$ 위의 부호를 갖는 실수 유한 보렐 측도들의 집합이다. 즉, $X$ 위의 베르 시그마 대수 $\operatorname {Baire} (X)$ 위의 두 측도 $(\mu _{1},\mu _{2})$의 차들의 동치류 집합이다. $M$ 위에서 측도의 전변동은 노름을 정의하며, 이에 따라 $M(X)$는 실수 바나흐 공간을 이룬다.

임의의 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $M(f)\colon M(X)\to M(Y)$는 다음과 같다.

$f(\mu )(S)=\mu (f^{-1}(S))\qquad \forall S\in \operatorname {Baire} (Y)$

그렇다면, 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, 영어: Riesz–Markov–Kakutani representation theorem)에 따르면, 다음과 같은 자연 동형 $\textstyle \int \colon M\Rightarrow (-)^{*}\circ {\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )$이 존재한다.

$\int _{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )^{*}\qquad (X\in \operatorname {CompHaus} )$

$\int _{X}\colon \mu \mapsto \left(f\mapsto \int _{X}f\;\mathrm {d} \mu \right)$

즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

${\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{*}}\\&\operatorname {CompHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }\end{matrix}}$

국소 콤팩트 공간 위의 함수

리스-마르코프-가쿠타니 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 콤팩트 지지 연속 함수로 대체하여야 한다.

$X$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, $M(X)$를 $X$ 위의 국소 유한 베르 측도의 집합(즉, 모든 콤팩트 집합이 유한 측도를 갖는 측도)이라고 하자. 이에 전변동을 노름으로 삼으면 이는 바나흐 공간을 이룬다.

또한, ${\mathcal {C}}_{0}(X,\mathbb {R} )$가 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 $X\to \mathbb {R}$의 집합이라고 하자. 이 역시 실수 바나흐 공간을 이룬다. 그렇다면, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

$\int \colon M\Rightarrow (-)^{*}\circ {\mathcal {C}}_{0}(-;\mathbb {R} )$

$\int _{X}\colon M(X)\to {\mathcal {C}}_{0}(M;\mathbb {R} )\qquad (X\in \operatorname {lcHaus} )$

$\int _{X}\colon \mu \mapsto \int _{X}f\;\mathrm {d} \mu$

즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

${\begin{matrix}&&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }^{\operatorname {op} }\\&^{{\mathcal {C}}_{0}(-;\mathbb {R} )}\nearrow &{\color {White}\scriptstyle \int }\Uparrow {\scriptstyle \int }&\searrow ^{(-)^{*}}\\&\operatorname {lcHaus} &{\xrightarrow[{M(-)}]{}}&\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }\end{matrix}}$

여기서

• $\operatorname {lcHaus}$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주이다.
• $\operatorname {Ban} _{\mathbb {R} }$는 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주이다.

특히, 따라서, 임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다.

${\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )^{*}\cong {\mathcal {C}}_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )\cong M(X;\mathbb {R} )$

여기서

• ${\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )$는 콤팩트 지지 실수 값 함수 $X\to \mathbb {R}$들의 실수 노름 공간이다. 이 경우 균등 노름을 부여한다.
• ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(X;\mathbb {R} )$는 무한대에서 0이 되는 연속 함수의 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, $\textstyle \sup _{x\in X\setminus K}\|f(x)\|<\epsilon$인 콤팩트 집합 $K\subseteq X$가 존재한다. 이 경우 균등 노름을 부여한다. 이는 ${\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(X;\mathbb {R} )$의 완비화이다.

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 위상 벡터 공간들이 서로 동형이다.

${\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{*}={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )^{*}=\operatorname {L} ^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )$

여기서

• ${\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \exists N\in \mathbb {N} \forall i\geq N\colon s_{i}=0\}$는 유한 지지 실수열들의 노름 공간이다.
• ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \lim _{i\in \mathbb {N} }s_{i}=0\}$는 유계 수열로 구성된 바나흐 공간이며, ${\mathcal {C}}_{\text{compact}}^{0}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )$의 완비화이다.
• $\ell ^{1}=L^{1}(\mathbb {N} ;\mathbb {R} )=\{s\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\colon \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }|s|<\infty \}$는 절대 수렴 실수열들의 바나흐 공간이다.

대각합류 작용소

 이 부분의 본문은 대각합류 작용소입니다.

복소수 힐베르트 공간 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 모든 $H\to H$ 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 $\operatorname {B} (H)$ 및 그 부분 집합인, 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간 ${\mathfrak {S}}_{1}(H)\subseteq \operatorname {B} (H)$을 정의할 수 있다. 이 경우, ${\mathfrak {S}}_{1}(H)$의 연속 쌍대 공간은 $\operatorname {B} (H)$와 동형이다. 구체적으로, 임의의 $A\in {\mathfrak {S}}_{1}(H)$ 및 $B\in \operatorname {B} (H)$에 대하여,

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$

이다. (다시 말해, 대각합류 작용소와 유계 작용소의 합성은 항상 대각합류 작용소이다.)

특히, 이에 따라 ${\mathfrak {S}}_{1}(H)^{*}\cong \operatorname {B} (H)$ 위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 초약 위상(超弱位相, 영어: ultraweak topology)이라고 한다.

폰 노이만 대수

 이 부분의 본문은 폰 노이만 대수입니다.

C* 대수 $A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $A$는 (복소수 바나흐 공간으로서) 원쌍대 공간을 갖는다.
• $A$는 폰 노이만 대수이다.

이 경우, $A$의 원쌍대 공간 $A_{*}$은 동형 사상 아래 유일하다.

구체적으로, 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 $H$에 대하여 $A\subseteq \operatorname {B} (H)$이라고 하자. 그렇다면, $A$의 원쌍대 공간 $A_{*}$는 복소수 선형 변환 $\phi \colon A\to \mathbb {C}$ 가운데, $A$에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다.

역사

1907년에 리스 프리제시와 모리스 르네 프레셰가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.

1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다. 이후 안드레이 마르코프와 가쿠타니 시즈오가 이를 일반화하였다.

스테판 바나흐가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고,^{:123, §VIII.4, Théorème VII.3} 1940년에 리오니더스 앨러오글루가 이를 임의의 노름 공간에 대하여 일반화하였다. 니콜라 부르바키는 같은 해에 이를 임의의 위상 벡터 공간에 대하여 일반화하였다.

국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테(영어: Gottfried Köthe) · 장 디외도네 · 조지 매키(영어: George Mackey) 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 니콜라 부르바키가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다.

외부 링크

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