마방진

3×3 마방진

마방진(魔方陣, 영어: magic square) 또는 방진(方陣)은 n²개의 수를 가로, 세로, 두 대각선 방향의 수를 더하면 모두 같은 값이 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n²까지의 수가 모두 들어간다. 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다.

역사

최초의 마방진으로 여겨지는 낙서

중국 하나라의 우 임금 시절 (약 4000년 전) 우왕은 매년 범람하는 황하의 물길을 정비할 때 이상한 그림이 새겨진 거북의 등 껍데기를 발견했다. 1부터 9까지의 숫자가 배열된 3차 마방진이었고, 가로, 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 합(마방진 합)이 15였다. 이를 낙서라고 한다.

天與禹洛出書，神龜負文而出，列於背，有數至於九。禹遂因而第之，以成九類，常道所以次敘。

— 상서정의 12권

특성

마법 상수

 이 부분의 본문은 마법 상수입니다.

마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 그 값을 마법 상수라고 한다. 1부터 n²까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은 1부터 n²까지의 자연수 합으로 삼각수 ${\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}$이다. n개의 가로·세로줄이 있으니 마법 상수는 이를 n으로 나눈 것과 같다.

$M(n)={\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}\div n={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$

자명한 1차 마방진

1차 마방진(1×1 마방진)은 수가 '1' 한 개밖에 없다. 따라서 자명하다.

불가능한 2차 마방진

일반적인 마방진은 2차 마방진 외에는 모두 가능하다.

다음과 같은 2차 마방진이 있다고 하면,

$a$	$b$
$c$	$d$

$a$ + $b$ = $a$ + $c$ 이고,

$b$ = $c$ 로 두 수가 중복된다.

개수

2024년에 6차 마방진의 개수에 대한 검증이 끝나 6차까지 개수가 알려져 있다.

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632. (OEIS의 수열 A006052)

분류

4×4 마방진의 종류를 벤 다이어그램으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분에서 합이 마법 상수로 같다.

n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다.

• 준마방진(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다.
• 단순 마방진(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. 일반적인 마방진(ordinary magic square) 또는 평범한 마방진(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
• 범마방진(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다.
• 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic squrare)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.

마방진 만들기

몇천 년 동안, 마방진을 만드는 다양한 방법이 발견되었다.

홀수 차수의 마방진

 시암의 방법 문서를 참고하십시오.

홀수 차수의 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 '시몬 드 라 루베르'(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈인도인들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다. 그 방법은 다음과 같다.

첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다.

1단계

	1

2단계

	1
		2

3단계

	1
3
		2

4단계

	1
3
4		2

5단계

	1
3	5
4		2

6단계

	1	6
3	5
4		2

7단계

	1	6
3	5	7
4		2

8단계

8	1	6
3	5	7
4		2

9단계

8	1	6
3	5	7
4	9	2

맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수으로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.

Order 3

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Order 5

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Order 9

47	58	69	80	1	12	23	34	45
57	68	79	9	11	22	33	44	46
67	78	8	10	21	32	43	54	56
77	7	18	20	31	42	53	55	66
6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
36	38	49	60	71	73	3	14	25
37	48	59	70	81	2	13	24	35

4차 마방진

위와 같이 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한 뒤에, 힌 색 칸의 수들을 180도 뒤집어 옮기면 마방진이 된다.

M = Order 4

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

M = Order 4

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

변형

 이 부분의 본문은 마법진 (수학)입니다.

2차원

• 
  원진
• 
  다각진 중 하나인 삼각진
• 
  육각진
• 
  별진 중 하나인 육각별진
• 
  최석정의 지수귀문도

다차원

• 
  입체마방진

같이 보기

• 입체마방진: 3차원 형태의 마방진

외부 링크

• (영어) 매스월드의 마방진 문서
• (한국어) 숫자놀이