순서수 정의 가능 집합

집합론에서 순서수 정의 가능 집합(順序數定義可能集合, 영어: ordinal-definable set)은 유한 개의 순서수를 포함하는 1차 논리 공식으로 정의할 수 있는 집합이다.

정의

다음 성질을 만족시키는 집합 $S$를 순서수 정의 가능 집합이라고 한다.

• 순서수 $\alpha$ 및 순서수의 유한열 $\beta _{1},\dots ,\beta _{n}$ 및 $n+1$개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 $\phi \in \langle \in \rangle$이 존재하며, $\{T\in V_{\alpha }\colon \phi (T,\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\}=\{S\}$이다.

순서수 정의 가능 집합의 고유 모임을 $\operatorname {OD}$라고 한다.

계승적 순서수 정의 가능 집합(繼承的順序數定義可能集合, 영어: hereditarily ordinal-definable set)은 모든 부분집합이 계승적 순서수 정의 가능 집합인 순서수 정의 가능 집합이다. 계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임을 $\operatorname {HOD}$라고 한다.

성질

계승적 순서수 정의 가능 집합의 고유 모임은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이다. (계승적) 순서수 정의 가능 집합의 성질은 절대적이지 않다. 즉, 순서수 정의 가능 집합이 내부 모형에서는 더 이상 순서수 정의 가능하지 않을 수 있다.

만약 구성 가능성 공리를 가정한다면, 모든 집합은 계승적 순서수 정의 가능 집합이다.

모든 집합이 (계승적) 순서수 정의 가능 집합이라는 공리는 보통 $V=\operatorname {OD}$ 또는 $V=\operatorname {HOD}$로 쓴다. 이 공리는 (구성 가능성 공리와 달리) 거의 모든 알려진 큰 기수 공리와 무모순적이며, 또한 선택 공리를 함의한다.

역사

쿠르트 괴델이 1946년에 도입하였다.