연결 공간

일반위상수학에서 연결 공간(連結空間, 영어: connected space)은 공집합이 아닌 두 열린집합으로 쪼갤 수 없는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 연결 공간이라고 한다.

$X$ 의 두 열린집합 $U,V\subseteq X$ 에 대하여, $U\cup V=X$ 이며 $U\cap V=\varnothing$ 이라면, $U$ 와 $V$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 두 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $E\cup F=X$ 이며 $E\cap F=\varnothing$ 이라면, $E$ 와 $F$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다. (이는 열린집합의 여집합이 닫힌집합과 일치하기 때문이다.)
만약 $X=X_{1}\cup X_{2}$ 이며 $X_{1}\cap \operatorname {cl} (X_{2})=\operatorname {cl} (X_{1})\cap X_{2}=\varnothing$ 이라면, $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 열린닫힌집합(=경계가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 $X$ 와 $\varnothing$ 이다.)
공집합이 아니며, 모든 연속 함수 $X\to \{0,1\}$ 은 상수 함수이다. 여기서 $\{0,1\}$ 은 두 개의 점을 갖는 이산 공간이다.

연결 공간이 아닌 공간을 비연결 공간(非連結空間, 영어: disconnected space)이라고 한다.

연결 성분

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 $x_{0}\in X$ 을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 $x_{0}$ 의 연결 성분(連結成分, 영어: connected component)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, $X$ 는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다.

연결 성분은 항상 닫힌집합이지만, 열린집합일 필요는 없다. 예를 들어 실수에 하극한 위상이 주어졌을때, 연결성분은 한원소 집합이다. 이는 닫힌집합일 뿐이다

경로 연결 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여, 임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 $f\colon [0,1]\to X$ 가 존재할 경우, $X$ 를 경로 연결 공간(經路連結空間, 영어: path-connected space)이라 한다.

$f(0)=x$ 이며 $f(1)=y$ 이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 $x$ 와 $y$ 사이의 경로라고 한다.

두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는 $X$ 위의 동치 관계를 정의한다. 이 동치 관계의 동치류는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 경로 연결 성분(經路連結成分, 영어: path-connected component)이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다.

호 연결 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 $f\colon [0,1]\to X$ 가 존재할 경우, $X$ 를 호 연결 공간(弧連結空間, 영어: arc-connected space)이라 한다.

$f(0)=x$ 이며 $f(1)=y$ 이다.
$f$ 는 매장이다. 즉, $f$ 는 $[0,1]$ 과 $f([0,1])\subset X$ 사이의 위상 동형이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 $x$ 와 $y$ 사이의 호(弧, 영어: arc)라고 한다.

성질

연결성 · 경로 연결성 · 호 연결성이 동치일 조건

모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ 위상 공간

하우스도르프 공간 $X$ 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 경로 연결 공간이다.
$X$ 는 호 연결 공간이다.

그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 T₁ 공간이 존재한다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 $X$ 의 경우 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.)

국소 경로 연결 공간 $X$ 의 경우, 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간 $X$ 의 경우, 다음이 서로 동치이다.^[1]^:327

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.
$X$ 는 호 연결 공간이다.

특히, 유클리드 공간의 열린집합은 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다.

연속 함수에 대한 상

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 $X$ 가 연결 공간이라면 $f$ 의 상 $f(X)$ 또한 연결 공간이다.
만약 $X$ 가 경로 연결 공간이라면 $f$ 의 상 $f(X)$ 또한 경로 연결 공간이다.

거리 공간

연결 거리화 가능 공간 $X$ 의 크기는 1 이하이거나 $2^{\aleph _{0}}$ 이상이다.

|X|=0\lor |X|=1\lor |X|\geq 2^{\aleph _{0}}

증명:

연결 거리 공간 $(X,d)$ 가 서로 다른 두 점 $x,y\in X$ 를 갖는다고 하자. 함수 $f\colon z\mapsto d(x,z)$ 는 연속 함수 $X\to [0,\infty )$ 이며, 따라서 그 상 $f(X)$ 은 구간이다. $0,d(x,y)\in f(X)$ 이므로 $(0,d(x,y))\subseteq f(X)$ 이다. 따라서,

2^{\aleph _{0}}=|f(X)|\leq |X|

이다.

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 다음 세 조건을 생각하자.

$Y$ 는 연결 공간이다.
$X$ 의 두 열린집합 $U,V\subseteq X$ 에 대하여, $Y\subseteq U\cup V$ 이며 $U\cap V\cap Y=\varnothing$ 이라면, $U\cap Y$ 와 $V\cap Y$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 두 열린집합 $U,V\subseteq X$ 에 대하여, $Y\subseteq U\cup V$ 이며 $U\cap V=\varnothing$ 이라면, $U\cap Y$ 와 $V\cap Y$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.

연결 공간과 부분공간 위상의 정의에 따라, 첫 번째 조건과 두 번째 조건은 서로 동치이다. 이 조건은 자명하게 세 번째 조건을 함의하지만, 세 번째 조건을 만족시키는 부분 집합이 연결 공간일 필요는 없다. $X$ 가 거리화 가능 공간인 경우, 위 세 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:72, Exercise 3.2.6}

증명:

임의의 연결 집합은 자명하게 세 번째 조건을 만족시킨다. 이제, 거리 공간 $(X,d)$ 의 비연결 집합 $Y\subseteq X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

Y\subseteq E\cup F

E\cap F\cap Y=\varnothing

E\cap Y\neq \varnothing

F\cap Y\neq \varnothing

인 두 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 이 존재한다. 이제

U=\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)<d(x,F\cap Y)\}

V=\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)>d(x,F\cap Y)\}

라고 하자. 그렇다면, $U,V\subseteq X$ 는 열린집합이며, $U\cap V=\varnothing$ 이다. 만약 $x\in E\cap Y$ , $y\in F\cap Y$ 라면,

d(x,E\cap Y)=0<d(x,F)\leq d(x,F\cap Y)

d(y,F\cap Y)=0<d(y,E)\leq d(y,E\cap Y)

이다. 즉, $x\in U$ , $y\in V$ 이다. 따라서,

\varnothing \neq E\cap Y\subseteq U\cap Y

\varnothing \neq F\cap Y\subseteq V\cap Y

Y=(E\cap Y)\cup (F\cap Y)\subseteq U\cup V

이다.

예

연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

공집합은 자명하게 연결 공간이며, 또한 경로 연결 공간이자 호 연결 공간이다.
한원소 공간 $\{\bullet \}$ 역시 자명하게 (경로/호) 연결 공간이다.
실직선 $\mathbb {R}$ 은 연결 공간이다.
연결 위상체에 대한 모든 위상 벡터 공간은 연결 공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결 공간이다.
이산 값매김환의 스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 $\{0,1\}$ 이며, 그 기저는 $\{\{1\},\{0,1\}\}$ 이다. 이는 연결 공간이다.

비연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

유리수의 집합 $\mathbb {Q}$ , 무리수의 집합 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ , 및 (순서 위상을 부여한) 초실수의 집합 ${}^{*}\mathbb {R}$ 는 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다.
크기가 2 이상인 이산 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다.
일반선형군 $\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$ 은 두 개의 연결 성분을 가진다. 이들은 각각 행렬식이 양수·음수인 가역 행렬들로 구성된다.

모든 크기의 비이산 공간은 경로 연결 공간이지만, 크기가 2 이상인 비이산 공간은 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이 아닌 연결 공간

긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.

호 연결 공간이 아닌 경로 연결 공간

크기가 $2\leq |X|<2^{\aleph _{0}}$ 인 경로 연결 공간 $X$ 는 호 연결 공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 $2^{\aleph _{0}}$ 개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 가산 집합에 비이산 위상을 주면, 이는 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아닌 T₁ 공간의 예로, 전순서 집합 $[0,\infty )$ 에 원소 $0'$ 을 다음과 같이 추가하여 부분 순서 집합으로 만들자.

0'<a\quad \forall a\in (0,\infty )

0'\not <0,\quad 0'\not >0

여기에 순서 위상을 준 공간은 T₁ 공간이며 경로 연결 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 $0$ 과 $0'$ 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.

환의 스펙트럼

(단위원을 갖는) 가환환 $R$ 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

$R$ 의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} (R)$ 는 연결 공간이다.
$R$ 의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수(영어: rank)를 갖는다.
모든 $r\in R$ 에 대하여, 만약 $r^{2}=r$ 라면, $r=0$ 이거나 $r=1$ 이다.
만약 $R\cong R_{1}\times R_{2}$ 인 가환환 $R_{1}$ , $R_{2}$ 가 존재한다면, $R_{1}$ 또는 $R_{2}$ 는 자명환이다.

구간

실직선 $\mathbb {R}$ 의 부분 집합 $S\subset \mathbb {R}$ 의 경우 다음이 서로 동치이다.

$S$ 는 연결 공간이다.
$S$ 는 경로 연결 공간이다.
$S$ 는 호 연결 공간이다.
$S$ 는 구간이다. 즉, $a\leq b$ 이며 $S\in \{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\}$ 인 $a,b\in [-\infty ,\infty ]$ 가 존재한다. (공집합은 $a>b$ 인 구간으로 간주한다.)

각주

↑ Cullen, Helen Frances (1968). 《Introduction to general topology》 (영어). Heath and Company. Zbl 0164.23301.
↑ Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

외부 링크

“Connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Path-connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Locally path-connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Pathwise-connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally pathwise-connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Arcwise-connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Connected space”. 《nLab》 (영어).

[1] Cullen, Helen Frances (1968). 《Introduction to general topology》 (영어). Heath and Company. Zbl 0164.23301.

[Brown-2] Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3차 개정 증보판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[1]

[2]

정의