천 특성류

대수적 위상수학과 미분기하학에서 천 특성류([陳]特性類, 영어: Chern class)는 복소 벡터 다발에 대한 특성류이다. 매끄러운 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표는 아티야-싱어 지표 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리 등에서 쓰인다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 복소 벡터 다발 $E$ 를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 코쥘 접속 $A\in C^{\infty }{\big (}T^{*}M\otimes \operatorname {End} (E){\big )}$ 와 그 곡률

R_{A}=dA+[A\wedge A]\in C^{\infty }{\big (}\bigwedge {}^{2}T^{*}M\otimes \operatorname {End} (M){\big )}

를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.

C(t;A)=\det(1+itR_{A}/2\pi )

.

여기서 $t$ 는 형식적인 변수다. ( $R_{A}$ 는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) $C$ 는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

c(t,A)=[C(t;A)]\in \bigoplus _{k}H^{2k}(M;\mathbb {C} )[t]

를 정의할 수 있다. 이는 코쥘 접속 $A$ 에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

c(t,A)=c(t)

이다. 천 특성류의 원소 $c_{k}\in H^{2k}(M,\mathbb {C} )$ 는 $c(t)$ 의 테일러 급수

c(t)=\sum _{k}c_{k}t^{k}

의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 특성류라고 한다. 또한, 슈티펠-휘트니 특성류도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

대수적 천 특성류

천 특성류는 대수기하학에서도 등장한다. 이 경우 천 특성류는 비특이 대수다양체에 대하여 정의되며, 특이 코호몰로지 대신 이보다 더 많은 정보를 담고 있는 저우 환 속의 원소가 된다. 구체적으로, 비특이 준사영 대수다양체 $X$ 위에, $r$ 차원 국소 자유 가군층 ${\mathcal {E}}$ 가 주어졌을 때, ${\mathcal {E}}$ 의 (대수적) 천 특성류^[1]^:429

c^{\bullet }({\mathcal {E}})\in A^{\bullet }(X)

는 (정수 계수) 저우 환 $A^{\bullet }(X)$ 의 원소이다. 마찬가지로, (대수적) 천 지표^[1]^:431

\operatorname {ch} ({\mathcal {E}})\in A^{\bullet }(X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}

를 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

성질

복소수 $n$ 차원 복소다양체 $M$ 의 접다발 $TM$ 의 천 특성류 $c_{k}(TM)$ 는 $TM$ 이 $(n-k+1)$ 개의, 모든 곳에서 선형 독립인 단면을 갖는 것에 대한 방해 조건(영어: obstruction)이다. 즉, $c_{k}(TM)=0$ 이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다.^[2]^{:8, Remark 1.3.1} 특히, $c_{n}(TM)$ 은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, $c_{1}(TM)$ 은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) 필바인이 존재할 방해 조건이다.

복소수 $n$ 차원 복소다양체 $M$ 의 최고차 천 특성류 $c_{n}(TM)$ 는 그 오일러 특성류 $e(TM)$ 과 같다.

예

자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 −1배이다.

c(E^{*})=-c(E)

리만 곡면

콤팩트 리만 곡면 $\Sigma$ 위의, 인자 $D$ 에 대응하는 선다발 ${\mathcal {L}}(D)$ 의 천 수는 그 차수 $\deg D$ 와 같다.

c({\mathcal {L}}(D))=1+(\deg D)[\Sigma ]\in H^{\bullet }(\Sigma ;\mathbb {Z} )

특히, 리만 곡면의 접다발 $\operatorname {T} \Sigma$ 및 표준 선다발(=공변접다발) $\operatorname {T} ^{*}\Sigma$ 의 차수는 각각 $\chi (\Sigma )=2-2g$ 및 $-\chi (\Sigma )=2g-2$ 이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

c(\operatorname {T} \Sigma )=1+\chi (\Sigma )[\Sigma ]

c(\operatorname {T} ^{*}\Sigma )=1-\chi (\Sigma )[\Sigma ]

만약 $g=1$ 일 경우 (원환면 = 복소수 타원 곡면), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. $g\neq 1$ 일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장 $V$ 은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 푸앵카레-호프 정리

\sum _{z\colon V(z)=0}\operatorname {index} _{z}V=\chi (\Sigma )

의 한 예이다.

복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{n}$ 의 경우, 다음과 같은 오일러 완전열이 존재한다.

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to \operatorname {T} \mathbb {CP} ^{n}\to 0

여기서 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}$ 은 구조층이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 정칙 함수는 상수 함수밖에 없다). ${\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)$ 은 세르 뒤틀림층(= $\mathbb {CP} ^{n}$ 의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

완전열의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.

c(\operatorname {T} \mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1)))^{n+1}

역사

천싱선이 1946년에 도입하였다.^[3]

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). 《Vector fields on singular varieties》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1987. Springer. doi:10.1007/978-3-642-05205-7. ISBN 978-3-642-05204-0. ISSN 0075-8434.
↑ Chern, Shiing-Shen (1946년 1월). “Characteristic classes of Hermitian manifolds”. 《Annals of Mathematics》 47 (1): 85–121. doi:10.2307/1969037. MR 0015793. Zbl 0060.41416.

권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.
조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 12일에 확인함.

외부 링크

“Chern class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Chern class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Chern number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Chern class”. 《nLab》 (영어).
“First Chern class”. 《nLab》 (영어).
“Chern class”. 《Topospaces》 (영어). 2015년 7월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 3일에 확인함.
Teitler, Zach (2004). “An informal introduction to computing with Chern classes” (영어). Bepress SelectedWorks. 2015년 7월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 3일에 확인함.
Mathew, Akhil (2011년 8월 5일). “Chern classes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 3일에 확인함.

[Hartshorne-1] 가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[2] Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). 《Vector fields on singular varieties》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1987. Springer. doi:10.1007/978-3-642-05205-7. ISBN 978-3-642-05204-0. ISSN 0075-8434.

[3] Chern, Shiing-Shen (1946년 1월). “Characteristic classes of Hermitian manifolds”. 《Annals of Mathematics》 47 (1): 85–121. doi:10.2307/1969037. MR 0015793. Zbl 0060.41416.

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