Lineaire algebra/Matrix

In het voorgaande hebben we al gezien dat een lineaire afbeelding $A:V\to W$ van de lineaire ruimte $V$ naar de lineaire ruimte $W$, geheel bepaald is door de beelden van een basis. Immers: als $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ een geordende basis is van $V$ en $x$ is een element van $V$, dan is:

$x=\sum _{i}\xi _{i}b_{i}$,

zodat

$A(x)=\sum _{i}\xi _{i}A(b_{i})$

Het beeld van een vector wordt dus volledig bepaald door de beelden van de basisvectoren. Deze beelden zijn lineaire combinaties van een geordende basis $C=(c_{1},\ldots ,c_{m})$ van W:

$A(b_{i})=\sum _{j}\gamma _{ij}c_{j}$.

Zo wordt:

$A(x)=\sum _{i}\xi _{i}\sum _{j}\gamma _{ij}c_{j}=\sum _{ij}\xi _{i}\gamma _{ij}c_{j}$

Bij gegeven bases $B$ van $V$ en $C$ van $W$ wordt het beeld onder $A$ van een vector bepaald door de getallen $(\gamma _{ij})$. Daarvoor geldt:

$\gamma _{ij}=(\kappa _{C}A(b_{i}))_{j}$,

dus de $j$-de coördinaat van $A(b_{i})$ t.o.v de basis $C$.

Voor een beter overzicht nemen we aan dat $\dim(V)=n$ en $\dim(W)=m$.

De rij:

$(\kappa _{C}A(b_{1}),\ldots ,\kappa _{C}A(b_{n}))=((\gamma _{11},\ldots ,\gamma _{1m}),\ldots ,(\gamma _{n1},\ldots ,\gamma _{nm}))$

legt dus (samen met de beide bases $B$ en $C$) de lineaire afbeelding $A$ vast. Die rij is een element van $(K^{m})^{n}$, en wordt $n\times m$-matrix genoemd. Zo'n matrix wordt overzichtelijk opgeschreven als een rechthoekig schema met $n$ rijen en $m$ kolommen. De $n$ rijen bestaan juist uit de $m$ coördinaten van de $n$ beeldvectoren:

$\gamma ={\begin{bmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\ldots &\gamma _{1m}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\ldots &\gamma _{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\gamma _{n1}&\gamma _{n2}&\ldots &\gamma _{nm}\\\end{bmatrix}}$

het is gebruikelijk om niet deze $n\times m$-matrix , maar de $m\times n$-matrix $\alpha$ waarin de beeldvectoren als kolommen voorkomen,

$\alpha ={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\ldots &\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m1}&\alpha _{m2}&\ldots &\alpha _{mn}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{21}&\ldots &\gamma _{n1}\\\gamma _{12}&\gamma _{22}&\ldots &\gamma _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\gamma _{1m}&\gamma _{2m}&\ldots &\gamma _{nm}\\\end{bmatrix}}$

als de matrix van $A$ op te vatten. Omdat beide matrices dezelfde getallen betreffen, alleen getransponeerd opgeschreven, heten ze ook elkaars getransponeerden.

$\alpha =\gamma ^{T}$

Er geldt:

$\alpha _{ij}=\gamma _{ji}$

We zien ook hier dat door de keuze van bases de structuur van lineaire ruimten en afbeeldingen a.h.w. overgebracht wordt naar getalruimten en getalstructuren. We zullen ons daarom eerst daar eens mee bezighouden.

Definitie 12.1

Onder een $n\times m$-matrix $A$ (zeg: n bij m matrix) verstaan we een element van $(K^{m})^{n}$. We zeggen dat de matrix $A$ $n$ rijen en $m$ kolommen heeft. Het getal

$A_{rk}=(A_{r})_{k}$

heet het $rk$-de element van de matrix, of ook het element in de $r$-de rij en $k$-de kolom.

Definitie 12.2

Onder de matrix van de lineaire afbeelding $A:V\to W$ van de $n$-dimensionale lineaire ruimte $V$ in de $m$-dimensionale lineaire ruimte $W$ over hetzelfde lichaam als $V$, t.o.v. de bases $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ van $V$ en $C=(c_{1},\ldots ,c_{m})$ van $W$, verstaan we de $m\times n$-matrix $M(A,B,C)$ met als $rk$-de element:

$M(A,B,C)_{rk}=(\kappa _{C}\,A(b_{k}))_{r}$

Anders gezegd: de $n$ kolommen van $M(A,B,C)$ zijn de beelden onder $A$ van de basisvectoren uit de basis $B$, voorgesteld door de coördinaten t.o.v de basis $C$.