Heaviside-functie

Schematische voorstelling Heaviside-functie

De heaviside-functie of heaviside-stapfunctie $H$ is een stapfunctie, opgesteld door de Engelse ingenieur Oliver Heaviside, die gedefinieerd wordt als:

$H(x)={\begin{cases}0&{\mbox{voor }}x<0\\\\1&{\mbox{voor }}x\geq 0\end{cases}}$

In plaats van $H(x)$ schrijft men ook wel $1(x),\Theta (x)$ of soms $\Gamma (x)$ (waar dit geen verwarring oplevert met de gammafunctie).

In de systeemtheorie is de notatie $u(t)$ gebruikelijk.

De heaviside-functie kan beschouwd worden als de integraal van de dirac-impuls $\delta (t)\$:

$H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (t)\,\mathrm {d} t$

Deze functie wordt bij integraaltransformaties en regeltechniek gebruikt.

Gebruik bij stuksgewijs gedefinieerde functies

Een verschil van twee heaviside-functies kan worden gebruikt om een bloksignaal te definiëren (Puls) :

$H(x)-H(x-a)={\begin{cases}1&{\mbox{voor }}0\leq x<a\\\\0&{\mbox{voor }}x<0\ en\ x\geq a\end{cases}}$

Dit laat toe stuksgewijs gedefinieerde functies in één regel te schrijven, waardoor ze in een geschikte vorm staan om te worden omgezet door de laplacetransformatie. Neem bijvoorbeeld het signaal

$f(t)={\begin{cases}0&{\mbox{voor }}t<0\\\\{\tfrac {1}{2}}t&{\mbox{voor }}0\leq t<4\ {\mbox{en}}\\\\2&{\mbox{voor }}t\geq 4\end{cases}}$

Dit kan worden geschreven als :

$f(t)={\tfrac {1}{2}}t\ [H(t)-H(t-4)]+2H(t-4)$

Met behulp van

${\mathcal {L}}\{H(t-a)\}(s)={\tfrac {1}{s}}e^{-as}$

en

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}(s)=-F'(s)$

volgt de laplace-getransformeerde:

$F(s)={\frac {1-e^{-4s}}{2s^{2}}}$

Alternatief

Uit symmetrie-overwegingen wordt voor de waarde voor $x=0$ ook wel ½ gekozen (of zelfs onbepaald gelaten, waar deze niet belangrijk is):

$H(x)={\begin{cases}0&{\mbox{voor }}x<0\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{voor }}x=0\\1&{\mbox{voor }}x>0\end{cases}}$