Karakteristieke functie (kansrekening)

De karakteristieke functie van een stochastische variabele $X$ is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële $t$ gegeven wordt door:

$\varphi _{X}(t)={\mathrm {E} }\left(e^{itX}\right).$

Er is een eenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van $X$, dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\ \mathrm {d} F_{X}(x),$

waarin $F_{X}$ de verdelingsfunctie van $X$ is.

Als $X$ de kansdichtheid $f_{X}$ heeft, gaat deze integraal over in:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\ \mathrm {d} x\,$

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op $\mathbb {R}$ of $\mathbb {R} ^{n}$ gedefinieerd is.

Voorbeelden

Normale verdeling

Voor de normale verdeling met parameters $\mu$ en $\sigma$ is de karakteristieke functie:

$\varphi _{X}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{2}}\mathrm {d} x=e^{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma t^{2}}.$

Exponentiële verdeling

Voor de exponentiële verdeling met parameter $\lambda$ is de karakteristieke functie:

$\varphi _{X}(t)=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{itx}e^{-\lambda x}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -it}}$

Eigenschappen

De karakteristieke functie is continu in de parameter $t$. Ze neemt steeds de waarde 1 aan in $t=0$.

Voor elk positief geheel getal $n$, elk stel van $n$ reële getallen $t_{1},\ldots ,t_{n}$ en $n$ complexe getallen $z_{1},\ldots ,z_{n}$ geldt

$\sum _{i,j=1}^{n}z_{i}{\overline {z}}_{j}\varphi _{X}(t_{j}-t_{i})\geq 0$

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie $f(t)$ de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen $X$ en $Y$ geldt:

• $|\varphi _{X}(t)|\leq \varphi _{X}(0)=1$ (begrensd)
• $\varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)$ (lineaire transformatie)
• $\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\ \varphi _{Y}(t)$ (convolutie)

Als $X$ een dichtheid $f_{X}$ heeft:

• $f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t$ (omkeerformule)

De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.