Stevanović speelde in de jeugd van Drina Zvornik en stapte later over naar het Servische Vojvodina. Bij die club brak hij ook door, nadat hij nog verhuurd was geweest aan Palić en Borac Banja Luka. Na verloop van tijd veroverde de middenvelder een vaste plaats in de basisopstelling van Vojvodina en in zijn geboortedorp werd hij in 2011 uitgeroepen tot 'Sporter van het Jaar'. Op 2 januari 2013 tekende hij voor vijf jaar bij Sevilla, waar hij ontvangen werd door landgenoot Emir Spahić. Op 5 juli 2013 werd hij verhuurd aan promovendus Elche, maar omdat hij daar weinig in actie kwam, stuurde Sevilla hem in januari 2014 naar Alavés.
In augustus van dat jaar verliet de Bosniër Sevilla en na drie maanden zonder club tekende hij bij Győri ETO. Hierna werd Ergotelis zijn nieuwe club en een halfjaar later Željezničar.[1] Medio 2017 verkaste Stevanović naar Servette.[2] Met die club promoveerde hij twee jaar later naar het hoogste niveau. Aan het einde van het seizoen 2023/24 won Servette de beker.
Stevanović maakte zijn debuut in het Bosnisch voetbalelftal op 26 mei 2012, toen met 1–0 verloren werd tegen Ierland. De middenvelder mocht in de tweede helft invallen voor Haris Međunjanin. In zijn tweede interland, tegen Wales (0–2 winst) wist hij zijn eerste doelpunt te maken.
.svg){kind=small}
Joegoslavië
.svg){kind=small}
Servette
