Trigonometrisk funksjon

Trigonometri

Historie Anvendelser Hypotenus Funksjoner Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter Eksakte konstanter Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen Cosinussetningen Tangenssetningen Pytagoras’ læresetning

Matematisk analyse

Integraler av funksjoner Deriverte av funksjoner Integraler av inverse funksjoner

I matematikken er trigonometriske funksjoner funksjoner av en vinkel. De er viktige i studien av trekanter og modellering av periodiske fenomener, blant mange andre anvendelser. Trigonometriske funksjoner er vanligvis definert som forhold mellom to sider i en rettvinklet trekant der vinkelen inngår, og kan på samme måte defineres som lengder av forskjellige linjestykker i en enhetssirkel. Mer moderne definisjoner uttrykker dem som uendelige rekker eller som løsninger av bestemte differensialligninger, noe som utvider dem til å bruke positive og negative vinkelverdier, og til og med komplekse tall.

I moderne bruk er det seks grunnleggende trigonometriske funksjoner, som er nevnt her sammen med ligningene for hvordan de forholder seg til hverandre. Spesielt i tilfellet med de siste fire er disse forholdene ofte ansett som definisjonene av de funksjonene, men man kan like godt definere dem geometrisk eller på andre måter, og så utlede disse forholdene.

Definisjoner i en rettvinklet trekant

Trigonometriske funksjoner kan defineres ut fra en rettvinklet trekant

For å definere de trigonometriske funksjonene for vinkelen A starter vi med en vilkårlig rettvinklet trekant der vinkelen A inngår.

Vi bruker følgende navn for de tre sidene i trekanten:

• Hypotenusen er den motstående siden til den rette vinkelen, eller definert som den lengste siden i en rettvinklet trekant, i dette tilfellet h.
• Motstående katet er den motstående siden til vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet a.
• Hosliggende katet er siden som er i kontakt med vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet b.

De trigonometriske funksjonene er oppsummert i tabellen under. Deretter kommer beskrivelser i detalj. Vinkelen θ er den samme som vinkel A på figuren.

Funksjon	Forkortelse	Identiteter (i radianer)
Sinus	sin	$\sin \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}\,$
Cosinus	cos	$\cos \theta \equiv \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\,$
Tangens	tan (eller tg)	$\tan \theta \equiv {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}\,$
Cotangens	cot (eller ctg, cotg eller ctn)	$\cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}\,$
Secans	sec	$\sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}\,$
Cosecans	csc (eller cosec)	$\csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sin \theta }}\,$

Sinus, cosinus og tangens

Sinus til en vinkel er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen. I vårt tilfelle

$\sin A={\frac {{\textrm {motst}}{\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}}{\textrm {hypotenus}}}={\frac {a}{h}}\,.$

Cosinus til en vinkel er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. I vårt tilfelle

$\cos A={\frac {\textrm {hosliggende}}{\textrm {hypotenus}}}={\frac {b}{h}}\,.$

Tangens til en vinkel er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet. I vårt tilfelle

$\tan A={\frac {{\textrm {motst}}{\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}}{\textrm {hosliggende}}}={\frac {a}{b}}\,.$

Resiproke funksjoner

De tre gjenstående funksjonene defineres best ut fra de tre funksjonene over.

Cotangens cot A er det inverse tallet til tan A, dvs. forholdet mellom hosliggende katet og motstående katet:

$\cot A={\frac {\textrm {hosliggende}}{{\textrm {motst}}{\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}}}={\frac {b}{a}}\,.$

Secans sec A er det inverse tallet til cos A, dvs. forholdet mellom hypotenusen og hosliggende katet:

$\sec A={\frac {\textrm {hypotenus}}{\textrm {hosliggende}}}={\frac {h}{b}}\,.$

Cosecans csc A er det inverse tallet til sin A, dvs. forholdet mellom hypotenusen og motstående katet:

$\csc A={\frac {\textrm {hypotenus}}{{\textrm {motst}}{\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}}}={\frac {h}{a}}\,.$

Definisjoner i enhetssirkelen

Enhetssirkelen

De trigonometriske funksjonene kan også defineres ut fra en enhetssirkel, en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Etter en slik definisjon kan alle reelle tall brukes som argumenter.

Vi tenker oss en vinkel med toppunkt i origo, og det ene vinkelbeinet langs x-aksen. Der det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen får vi et punkt vi kaller vinkelpunktet. Cosinus til vinkelen er definert som x-koordinaten til vinkelpunktet og sinus som y-koordinaten. De andre funksjonene defineres ut fra sinus og cosinus som nevnt ovenfor.

For vinkler større enn $2\pi$ eller mindre enn $-2\pi$, fortsetter man bare rundt sirkelen. På denne måten blir sinus og cosinus periodiske funksjoner med periode $2\pi$:

$\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)\,,$

$\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)\,,$

for alle vinkler θ og alle heltall k.

Alle de trigonometriske funksjonene til vinkelen θ kan konstrueres geometrisk ut fra en enhetssirkel

Alternativt kan alle de trigonometriske funksjonene defineres ut fra en enhetssirkel som vist i bildet til høyre, og tilsvarende geometriske definisjoner ble brukt i historien. For en korde AB, der θ er halvparten av den utspente vinkelen, er sin θ = AC (halve korden). cos θ er den vannrette avstanden OC, og versin θ = 1 − cos θ = CD. tan θ er lengden av linjestykket AE som er tangenten gjennom A, derfor ordet tangens. cot θ er linjestykket AF. sec θ = OE og csc θ = OF er sekantlinjene. DE er exsec θ = sec θ − 1 (delen av sekanten som er utenfor, eller ex, sirkelen).

Rekkedefinisjoner

Sinusfunksjonen (blå) er godt tilnærmet ved taylorpolynomet av 7. grad (rosa) for et helt omløp

Ved å bruke bare geometri og grenseverdier kan det vises at den deriverte av sin x er cos x og at den deriverte av cos x er −sin x. (Her, og generelt i matematisk analyse / (differensialregning), er alle vinkler målt i radianer.) Man kan så bruke teorien for taylorrekker for å vise at følgende identiteter holder for alle reelle tall x:

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\sum _{{\text{odd }}m\geq 1}(-1)^{(m-1)/2}{\frac {x^{m}}{m!}},\\\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{{\text{even }}m\geq 0}(-1)^{m/2}{\frac {x^{m}}{m!}},\\\\\tan x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\,,\end{aligned}}$

der

B_n er det n-te Bernoulli-tallet

Identiteter

Det finnes mange identiteter som gjelder mellom de trigonometriske funksjonene. Blant de oftest brukte er enhetssetningen, som sier at for alle vinkler, er kvadratet av sinus pluss kvadratet av cosinus alltid lik 1. Dette kan ses ved å lage en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1 og bruke Pythagoras’ læresetning. Enhetssetningen er slik:

$\left(\sin x\right)^{2}+\left(\cos x\right)^{2}=1\,,$

som vanligvis skrives slik, uten parenteser:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,.$

Dersom en dividerer med $\cos ^{2}x\,$ på begge sider av likhetstegnet får en:

$\tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x\,.$

Dersom en dividerer med $\sin ^{2}x\,$ på begge sider av likhetstegnet får en:

$\cot ^{2}x+1=\csc ^{2}x\,.$

Dividerer en med $\sin ^{2}x\,$ $\cos ^{2}x\,$ på begge sider av likhetstegnet får en:

$\sec ^{2}x+csc^{2}x=sec^{2}x\ csc^{2}x\,$

Andre viktige forhold er formlene for sinus og cosinus av summen og differansen mellom to vinkler.

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\,,$ $\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\,,$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\,,$ $\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,.$

Matematisk analyse

For integraler og deriverte av trigonometriske funksjoner, se de relevante avsnittene i tabell over deriverte, tabell over integraler og liste over integraler av trigonometriske funksjoner. Under er listen over deriverte og integraler til de seks grunnleggende trigonometriske funksjonene.

$\ \ \ \ f(x)$	$\ \ \ \ f'(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x+C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x+C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x$	$-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc ^{2}x=-1-\cot ^{2}x$	$\ln \left|\sin x\right|+C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec {x}\tan {x}$	$\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc {x}\cot {x}$	$-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C$

Utregning

Utregningen av trigonometriske funksjoner er et komplisert emne som i dag kan unngås av de fleste, pga. raske datamaskiner og vitenskapelige kalkulatorer.

I dette avsnittet beskriver vi imidlertid flere detaljer om utregningen i tre viktige sammenhenger: historisk bruk av trigonometriske tabeller, de moderne teknikkene som brukes av datamaskiner, og eksakte verdier for noen bestemte vinkler.

Før datamaskinene brukte man tabeller trykt i oppslagsbøker og fant mellomliggende verdier ved interpolasjon. Slike tabeller har vært tilgjengelige så lenge som trigonometriske funksjoner har vært beskrevet (se Historie nedenfor), og ble vanligvis utregnet ved gjentatt bruk av formlene for halve vinkler og summen av vinkler (se Trigonometriske identiteter) ved å gå ut fra en kjent verdi (slik som $\sin(\pi /2)=1$).

For noen enkle vinkler kan verdiene utregnes for hånd ved hjelp av Pythagoras’ læresetning, som i de følgende eksemplene. Eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens for alle multipler av $\pi /60$ radianer (3°) kan faktisk finnes for hånd.

Vi tenker oss en rettvinklet trekant der de to andre vinklene er $\pi /4$ radianer (45°). Sidene b og a er like; vi kan velge $a=b=1$. Verdiene av sinus, cosinus og tangens til $\pi /4$ radianer (45°) kan da finnes ved hjelp av Pythagoras’ læresetning:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}}\,.$

Derfor:

$\sin \left(\pi /4\right)=\sin \left(45^{\circ }\right)=\cos \left(\pi /4\right)=\cos \left(45^{\circ }\right)={1 \over {\sqrt {2}}}\,$,

$\tan \left(\pi /4\right)=\tan \left(45^{\circ }\right)={{\sin \left(\pi /4\right)} \over {\cos \left(\pi /4\right)}}={1 \over {\sqrt {2}}}\cdot {{\sqrt {2}} \over 1}={{\sqrt {2}} \over {\sqrt {2}}}=1\,.$

For å bestemme trigonomentriske funksjoner for vinkler på π/3 radianer (60°) og π/6 radianer (30°) starter vi med en likesidet trekant med sidelengde 1. Alle vinkler er π/3 radianer (60 grader). Ved å dele den i to får vi en rettvinklet trekant med vinkler på π/6 radianer (30°) og π/3 radianer (60°). Den korteste siden = 1/2, den nest lengste = (√3)/2 og hypotenusen = 1. Dette gir:

$\sin \left(\pi /6\right)=\sin \left(30^{\circ }\right)=\cos \left(\pi /3\right)=\cos \left(60^{\circ }\right)={1 \over 2}\,,$

$\cos \left(\pi /6\right)=\cos \left(30^{\circ }\right)=\sin \left(\pi /3\right)=\sin \left(60^{\circ }\right)={{\sqrt {3}} \over 2}\,,$

$\tan \left(\pi /6\right)=\tan \left(30^{\circ }\right)=\cot \left(\pi /3\right)=\cot \left(60^{\circ }\right)={1 \over {\sqrt {3}}}\,.$

De eksakte verdiene av sinus for vinklene 0°, 30°, 45°, 60° og 90° kan lett huskes som ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {0}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4}}$. Den tilsvarende rekken for cosinus er rekken for sinus baklengs, og tangens er som nevnt sinus delt på cosinus.

Vanlige datamaskin-CPUer fra rundt 2000-2005 beregner oftest vha innebygde funksjoner basert på CORDIC-algoritmen (også kjent som Volders algoritme) i kombinasjon med relativt små innebygde oppslagstabeller. Resultatet blir en avansert interpolasjon mellom to tabellverdier med en ekstra desimal pr iterasjon. En $cos$-beregning kan slik gjøres på rundt 200 CPU-klokkeslag. På vanlige 2GHz CPU-kjerner tilsvarer det ca ti millioner $cos$-beregninger pr sekund. Hvis man senker kravet til antall desimalers nøyaktighet og setter av mer minne til oppslagstabeller kan beregningene gjøres raskere.

Inverse funksjoner

De trigonometriske funksjonene er periodiske, og derfor ikke injektive, så de har strengt tatt ikke en invers funksjon. For å definere en invers funksjon må vi begrense definisjonsmengden så den trigonometriske funksjonen blir bijektiv. I det følgende er funksjonene til venstre definert ved ligningen til høyre; disse er ikke beviste identiteter. De viktigste inverse funksjonene er vanligvis definert som:

${\begin{matrix}{\mbox{for}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{hvis}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{for}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{hvis}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{for}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{hvis}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{for}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{hvis}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{for}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{hvis}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{for}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{hvis}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}$

For inverse trigonometriske funksjoner blir skrivemåtene sin⁻¹ og cos⁻¹ ofte brukt for arcsin, arccos osv.

Akkurat som sinus og cosinus, kan de inverse trigonometriske funksjonene også defineres som uendelige rekker. For eksempel,

$\arcsin z=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \,.$

Disse funksjonene kan også defineres ved å bevise at de er antideriverte av andre funksjoner. Funksjonen arcsin kan for eksempel skrives som følgende integral:

$\arcsin z=\int _{0}^{z}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,\quad |z|<1\,.$

Analoge formler for andre funksjoner kan finnes på Inverse trigonometriske funksjoner. Ved å bruke den komplekse logaritmen kan man generalisere alle disse funksjonene til komplekse argumenter:

$\arcsin z=-i\log \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\,,$

$\arccos z=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\,,$

$\arctan z={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)\,.$

Egenskaper og anvendelser

Sinussetningen

Sinussetningen sier at for en vilkårlig trekant med sider a, b og c og vinkler A, B og C der a er motstående til A osv.:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,,$

eller, på samme måte,

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R\,,$

der R er radius til trekantens omskrevne sirkel

Den kan bevises ved å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter og bruke definisjonen av sinus.

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en utvidelse av Pythagoras’ læresetning:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,,$

også kjent som

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,.$

I denne formelen er vinkel C motstående til side c. Denne setningen kan bevises ved å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter og bruke Pythagoras’ læresetning.

For å bruke cosinussetningen må vi kjenne tre opplysninger (vinkler/sidelengder) om trekanten, deriblant minst én side.

Andre nyttige egenskaper

Tangenssetningen finnes også:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(A+B)]}{\tan[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}\,.$

Periodiske funksjoner

Animasjon av kunstig fremstilling av en firkantbølge med økende antall harmoniske bølger

Trigonometriske funksjoner er nyttige i studien av generelle periodiske funksjoner. Disse funksjonene har karakteristiske bølgeformer som grafer, og er nyttige for å modellere gjentagende fenomener slik som lyd eller lysbølger. Hvert signal kan skrives som en (vanligvis uendelig) sum av sinus- og cosinusfunksjoner av forskjellige frekvenser; dette er den grunnleggende ideen i fourieranalyse. Firkantbølgen kan for eksempel skrives som Fourier-rekken

$x_{\mathrm {square} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left((2k-1)t\right)} \over (2k-1)}.$

I animasjonen til høyre fremgår det at bare noen få ledd allerede lager en ganske god tilnærming.

Historie

Kordefunksjonen ble oppdaget av Hipparkhos fra Nikea (180–125 f.Kr.) og Ptolemaios fra Egypt (90–165 e.Kr.). Sinus- og cosinusfunksjonene ble oppdaget av Aryabhata (476–550) og studert av Varahamihira og Brahmagupta. Tangensfunksjonen ble oppdaget av Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (780–850), og secans-, cotangens- og cosecansfunksjonene ble oppdaget av Abū al-Wafā’ al-Būzjānī (940–998). Alle de seks trigonometriske funksjonene ble så studert av Omar Khayyám, Bhaskara, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (14. århundre), Ulugh Beg (14. århundre), Regiomontanus (1464), Rheticus og Rheticus’ student Valentin Otho.^{[trenger referanse]}

Madhava fra Sangamagramma (ca. 1400) gjorde tidlig arbeid i analysen av trigonometriske funksjoner som uendelige rekker. Leonhard Eulers Introductio in analysin infinitorum (1748) hadde stor betydning for at analytisk behandling of trigonometriske funksjoner i Europa ble påbegynt, og han definerte dem også som uendelige rekker og presenterte Eulers formel i tillegg til de nesten-moderne forkortelsene sin., cos., tang., cot., sec., og cosec.

Etymologisk sett stammer ordet sinus fra ordet jya-ardha (sanskrit), som betyr «halvkorde», forkortet til jiva. Dette ble translitterert i arabisk som jiba, skrevet jb, i det vokaler ikke ble skrevet på arabisk. Så ble denne translitterasjonen feiloversatt i det 12. århundre til latin som sinus, ved at jb ble antatt å stå for ordet jaib, som betyr «bukt» eller «fold» på arabisk, som også sinus gjør på Latin. Ordet tangens er latin og betyr «berørende», siden linjen «berører» enhetssirkelen, mens secant kommer fra secans – «kuttende» – siden linjen kutter sirkelen.

De moderne navnene på funksjonene tangens og secans ble innført av den danske matematikeren Thomas Fincke i hans Geometriæ rotundi (1583).

Se også

• Utregning av trigonometriske tabeller
• Hyperbolsk funksjon
• Pythagoras’ læresetning
• Enhetsvektor
• Liste over trigonometriske identiteter
• Beviser for trigonometriske identiteter
• Eulers formel

Litteratur

• Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, New York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
• Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
• Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
• Kantabutra, Vitit, ”On hardware for computing exponential and trigonometric functions,” IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
• Needham, Tristan, ”Preface” to Visual Complex Analysis. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
• O’Connor, J.J., and E.F. Robertson, ”Trigonometric functions”, MacTutor History of Mathematics Archive. (1996).
• O’Connor, J.J., and E.F. Robertson, ”Madhava of Sangamagramma” Arkivert 26. februar 2006 hos Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics Archive. (2000).
• Pearce, Ian G., ”Madhava of Sangamagramma” Arkivert 5. mai 2006 hos Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics Archive. (2002).
• Weisstein, Eric W., ”Tangent” from MathWorld, accessed 21 January 2006.

Eksterne lenker

• Visionlearning Module on Wave Mathematics
• GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• Dave's draggable diagram. (Requires java browser plugin)