Bølgefunksjon

Bølgefunksjonen ψ  for en fri partikkel i én dimension ved et visst tidspunkt t. En liten tid senere er spiralen forflyttet et stykke mot høyre.

Bølgefunksjon i kvantemekanikken er en kompleks funksjon som inneholder informasjon om tilstanden til én eller flere partikler eller mer generelle system. Den representerer ikke en fysisk bølge i det tredimensjonale rommet og omtales derfor mer korrekt som en tilstandsfunksjon. Mer formelt defineres den som projeksjonen av tilstandsvektoren til systemet på en basisvektor i Hilbert-rommet som benyttes i beskrivelsen.

Kvadratet av absoluttverdien til bølgefunksjonen er proporsjonalt med sannsynligheten for å finne partiklene eller systemet i en bestemt tilstand. Av den grunn kalles den også for en «sannsynlighetsamplitude».

Funksjonen varierer med tiden på en måte som er styrt av Schrödinger-ligningen. Hvilke andre variable som inngår som dens argument, avhenger av hvilke observable man benytter i beskrivelsen av systemet.

Bakgrunn

Begrepet «bølgefunksjon» har sin bakgrunn i de Broglies forslag i 1924 å beskrive partikler som bølger. For en partikkel med impuls p  er da bølgelengden λ = h/p  der h  er Plancks konstant. Vel ett år senere fant Schrödinger bølgeligningen for de tilsvarende materiebølgene. At partikler hadde slike bølgeegenskaper, ble også eksperimentelt verifisert ved spredning av partikler mot krystaller.

Hvis bølgefunksjonen for elektronet i hydrogenatomet betegnes ved Ψ, mente Schrödinger opprinnelig at kvadratet |Ψ |² av absoluttverdien skulle være proporsjonalt med elektronets ladningstetthet i atomet. Men da Max Born ett år senere betraktet spredning av elektroner i den samme teorien, konkluderte han med at dette kvadratet i stedet angir sannsynligheten for å finne partikkelen på et bestemt sted. Grunnen var at ved en slik prosess hvor elektronet kan komme ut i mange forskjellige retninger, vil ikke dets ladning «smøres ut» over et stort område. Derimot vil det alltid ble registrert som en intakt partikkel.

Sannsynlighetstetthet

For én partikkel som beveger seg i tre dimensjoner med koordinater x = (x₁,x₂,x₃) er bølgefunksjonen en kompleks funksjon $\psi =\psi (\mathbf {x} ,t)$ som generelt også varierer med tiden t. Sannsynligheten for å observere partikkelen i et liten volumelement d³x  ved tiden t  er definert som

$dP=\Psi ^{*}\Psi \,d^{3}x$

Av denne grunn er det naturlig å omtale produktet |Ψ |² som en «sannsynlighetstetthet». Da partikkelen befinner seg et eller annet sted, må derfor bølgefunksjonen oppfylle kravet

$\int \!d^{3}x\,\Psi ^{*}\Psi =1$

Integralet går her over hele rommet og inkluderer også områder av dette hvor partikkelen klassisk ikke kan befinne seg. Dette kravet kalles oftest for et «normeringsintegral».

Hvis partikkelen befinner seg i en tilstand med en viss energi E, er den i en egentilstand av Hamilton-operatoren. Ifølge den tidsavhengige Schrödinger-ligningen vil den da variere med tiden som

$\Psi (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} )e^{-iEt/\hbar }$

der ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Sannsynlighetstettheten vil i dette tilfellet bare variere med posisjonen til partikkelen. Men når partikkelen er i en superposisjon av flere slike egenfunksjoner med forskjellige energier, vil sannsynlighetstettheten forandre seg med tiden.

Eksempel

Schrödinger-ligningen for en partikkel som befinner seg i en uendelig dyp, éndimensjonal potensialbrønn kan løses eksakt. Hvis denne har en utstrekning a, kan da partikkelen befinne seg mellom x = 0 og x = a når man velger origo passende. Utenfor begge disse posisjonene er bølgefunksjonen lik med null. Tilstanden med lavest energi E₁ = ħ²π²/2ma² der m  er partikkelens masse, har bølgefunksjonen

$\psi _{1}(x)={\sqrt {2 \over a}}\sin {\pi x \over a}$

i området 0 < x < a. Tilstander med høyere energier har bølgefunksjoner av samme form, men hvor argumentet i sinus-funksjonen blir erstattet med nπx/a  hvor n = 2, 3, 4 og så videre.

Erstattes det uendelig dype brønnen med potensialet for en éndimensjonal, harmonisk oscillator med frekvens ω, er laveste energi E₀ = (1/2)ħω og tilsvarende bølgefunksjon

$\psi _{0}(x)=\left({m\omega \over \pi \hbar }\right)^{1/4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }$

Den gjelder for alle posisjoner x, men avtar raskt fra sentrum x = 0 til potensialet. Sannsynligheten for å finne partikkelen i det klassisk forbudte området hvor den potensielle energien er større en partikkelens totalenergi, er ikke lenger null. Dette er eksempel på kvantemekanisk tunnelering.

Det er ikke enkelt å se noe som minner om vanlige bølger i disse løsningene. Derimot for en fri partikkel som beveger seg med en gitt impuls p i et veldig stort, tredimensjonalt rom, er den fulle bølgefunksjonen

$\Psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {1 \over V}}\,e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -Et)/\hbar }$

der V  er volumet den befinner seg i. Dette er virkelig en kompleks, plan bølge med bølgevektor k = p/ħ og vinkelfrekvens ω = E/ħ. Men for flere partikler minner de kvantemekaniske bølgefunksjonene enda mindre om klassiske bølger.

Mange partikler

Schrödinger-ligningen kan lett utvides til å beskrive et vilkårlig antall N  med ikke-relativistiske partikler. Det resulterer i en bølgefunksjon Ψ = Ψ(x₁, x₂, ..., x_N,t ) som inneholder all informasjon om egenskapene til systemet. Befinner det seg i en tilstand med en bestemt energi E, er tidsavhengigheten igjen gitt som

$\Psi (\mathbf {x} _{1},..,\mathbf {x} _{N},t)=\psi (\mathbf {x} _{1},..,\mathbf {x} _{N})\,e^{-iEt/\hbar }$

Energien E  er den totale energien til alle partiklene i systemet. Sannsynlighetstettheten er fremdeles gitt som Ψ*Ψ, men er nå en funksjon i et rom med 3N  romlige koordinater. For eksempel kan ikke den bølgemekaniske beskrivelsen av to partikler tenkes som to forskjellige bølger i det tredimensjonale rommet. Bølgefunksjonen har mistet alle likhetspunkter med en vanlig bølge, bortsett fra at den varierer i tiden med en bestemt frekvens når systemet har en gitt energi.

Uavhengige partikler

Når partiklene ikke har noen gjensidig vekselvirkning med hverandre, sies de å være uavhengige. De kan for eksempel alle bevege seg i et felles, ytre potensial som ikke varierer med tiden. Hamilton-operatoren er da en sum av enklere operatorer som alle inneholder forskjellige variable. I det enkleste tilfellet er partiklene helt frie når også dette bakgrunnspotensialet ikke finnes.

For to uavhengige partikler kan bølgefunksjonen skrives som et produkt

$\psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=u(\mathbf {x} _{1})v(\mathbf {x} _{2})$

hvor funksjonene u(x) og v(x) er løsninger av Schrödinger-ligningen for hver av dem. Partiklene har da energier E₁ og E₂ slik at totalenergien for systemet er E = E₁ + E₂.

Bølgefunksjonen kan også skrives som et slikt produkt når de to partiklene kun har en gjensidig vekselvirkning som avhenger av den relative avstanden r = x₁ - x₂ mellom dem. Dette gjelder for eksempel for de to partiklene som utgjør hydrogenatomet. Den ene bølgefunksjonen u = u(R) vil da beskrive bevegelsen av massesenteret R, mens funksjonen v = v(r) vil beskrive den relative bevegelsen til de to partiklene.

Identiske partikler

Når partiklene er helt like med hverandre og ikke kan adskilles, sies de å være identiske. De klassifiseres da i to hovedgrupper avhengig av deres spinn. Når dette er heltallig, er de bosoner som må beskrives med helt symmetriske bølgefunksjoner. Den andre klassen med halvtallige spinn er fermioner og beskrives med helt antisymmetriske bølgefunksjoner.

Da produktet av to funksjoner med forskjellige argument, generelt ikke er hverken symmetrisk eller antisymmetrisk i de to argumentene, vil bølgefunksjonen for identiske partikler vanligvis bestå av en sum av flere ledd som har den ønskede symmetrien. For eksempel, vil to uavhengige bosoner hvor det ene er i énpartikkeltilstanden u₁(x) og det andre i en tilsvarende tilstand u₂(x), ha den symmetriske bølgefunksjonen

$\psi _{S}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=u_{1}(\mathbf {x} _{1})u_{2}(\mathbf {x} _{2})+u_{1}(\mathbf {x} _{2})u_{2}(\mathbf {x} _{1})$

Disse to tilstandene kan godt være den samme på lignendene måte som at de to bosonene kan befinne seg i samme punkt. Derimot hvis de to partiklene er fermioner, er deres felles bølgefunksjon gitt ved den antisymmetriske kombinasjonen

$\psi _{A}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=u_{1}(\mathbf {x} _{1})u_{2}(\mathbf {x} _{2})-u_{1}(\mathbf {x} _{2})u_{2}(\mathbf {x} _{1})$

Den er automatisk lik null når de to tilstandene er de samme. Likedan er denne bølgefunksjonen null hvis de to fermionene befinner seg i samme punkt, det vil si når x₁ = x₂. Dette er et uttrykk for Paulis eksklusjonsprinsipp.

For større antall med identiske partikler kan bølgefunksjoner konstrueres på lignende måte slik at de har den ønskede symmetri.

Andrekvantisering

For systemer med veldig mange identiske partikler er det ofte hensiktsmessig å erstatte en beskrivelse ved bølgefunksjoner med andrekvantisering. Fra løsningene u_n(x) av Schrödinger-ligningen med energier E_n vil da den mest generelle bølgefunksjon for én partikkel skrives som

$\Psi (\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}a_{n}u_{n}(\mathbf {x} )e^{-iE_{n}t/\hbar }$

hvor koeffisientene a_n er komplekse tall. Ved å la disse bli operatorer ${\hat {a}}_{n}$ i et utvidet Hilbert-rom, fremkommer da kvantefeltoperatoren

${\hat {\Psi }}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}{\hat {a}}_{n}u_{n}(\mathbf {x} )e^{-iE_{n}t/\hbar }$

Her er nå ${\hat {a}}_{n}$ en stigeoperator som fjerner en partikkel fra tilstanden u_n(x), mens den adjungerte operatoren ${\hat {a}}_{n}^{\dagger }$ skaper en partikkel i den samme tilstanden. På dette vis kan feltoperatoren ${\hat {\Psi }}$ sies å fjerne en partikkel fra posisjon x ved tiden t, mens den adjungrete operatoren ${\hat {\Psi }}^{\dagger }$ skaper en partikkel der på samme måte.