Optisk teorem

Optisk teorem er en matematisk sammenheng mellom det totale virkningstverrsnittet for spredning av bølger og amplituden for elastisk spredning uten retningsforandring. Det ble opprinnelig formulert for spredning av lys i optikken, men etter etableringen av kvantemekanikken ble det vist å være gyldig også for spredning av partikler.

I optikken er det en konsekvens av energibevarelse som sier at den innkommende strålingsenergien må være den samme som etter prosessen og da opptrer som elastisk spredt stråling og muligens også absorbert energi. Det som gjør teoremet spesielt viktig, er at det er gyldig uansett hvordan denne absorpsjonen foregår. I kvantemekanikken følger det fra bevarelse av den totale sannsynlighet i en prosess, det som kalles «unitaritet». Da teoremet gjelder ved alle energier for de spredende partikler, har det derfor en universell gyldighet.

Opprinnelsen til teoremet kan føres tilbake til Sellmeiers formel som viste sammenhengen mellom brytningsindeksen til et materiale og hvordan det absorberer lys. Det fikk en mer presis utforming av Lord Rayleigh i 1871 i forbindelse med hans arbeid som forklarte fargen til en blå himmel. Denne effekten blir nå omtalt som Rayleigh-spredning og er en elastisk prosess. Men den betyr også at lys taper i intensitet når det går gjennom luft. Denne reduksjonen kan uttrykkes ved en absorpsjonskoeffisient hvor det totale spredningstverrsnittet inngår. Det er det praktiske innhold av teoremet.

Utledning

Den innkommende strålingen har en gitt retning og en bestemt energi. Man kan definere denne retningen som z-aksen i et kartesisk koordinatsystem (x,y,z) og beskrive den som en plan bølge e^ikz  med et visst bølgetall k. Bølgen vekselvirker med sprederen og forlater denne som en utgående kulebølge e^ikr/r. Når denne har amplituden f (θ ) i retningen θ  fra z-aksen, er hele spredningsprosessen gitt ved bølgefunksjonen

$\psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){e^{ikr} \over r}$

Spredningsamplituden f (θ ) har derfor samme dimensjon som en lengde. For små spredningsvinkler kan man benytte tilnærmingen

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z}}+\cdots$

Intensiteten er gitt ved absoluttkvadratet $|\psi |^{2}$ og blir med samme nøyaktighet

${\begin{aligned}\psi ^{*}\psi &=\left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2})/2z}\end{aligned}}$

når man dropper termen som avtar som 1/z². Summen av de to siste leddene er gitt ved deres reelle verdi.

For å beregne hvor mye av strålingen som går i fremoverretning θ = 0, tenker man seg et lite plan med areal A vinkelrett på z-aksen og rett bak sprederen. I integralet kan man da sette $f(\theta )=f(0)$ og samtidig anta at A er stor nok til at integrasjonen kan utvides til x,y → ± ∞. Dermed står man igjen med det doble integralet

$\int \int \,dx\,dy\,\psi ^{*}\psi =A+{2 \over z}{\text{Re}}\left[f(0)\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right]$

Det er det samme som opptrer i Huygens-Fresnel diffraksjonsteori og er gitt ved det bestemte integralet

$\int _{-\infty }^{\infty }\!dt\,e^{iat^{2}}={\sqrt {i\pi \over a}}$

På denne måten kommer man frem til

$\int \int \,dx\,dy\,\psi ^{*}\psi =A+{4\pi \over k}{\text{Re}}[if(0)]=A-{4\pi \over k}{\text{Im}}f(0)$

hvor den siste termen representerer den reduserte strålingen i fremover-retning. Den har samme dimensjon som et areal og er per definisjon det totale spredningstverrsnittet σ_T 

$\sigma _{T}={4\pi \over k}{\text{Im}}f(0)$

for prosessen. Dette resultatet representerer den matematiske formuleringen av det optiske teoremet.

Unitaritet

Mest generelt kan spredningsprosesser beskrives i kvantefeltteori ved bruk av S-operatoren. Den forbinder en viss tilstand av innkommende partikler med en annen tilstand med utgående partikler. Den kvantemekaniske sannsynlighetsamplituden for overgangen mellom disse to tilstandene er gitt ved matriseelementet av S-operatoren mellom disse to tilstandene. Tilsammen utgjør alle elementene «S-matrisen».

Summerer man sannsynligheten over alle mulige sluttilstander, må dette ganske enkelt gi én fordi noe er garantert å skje ved en slik vekselvirkning. For S-operatoren betyr det at

$S^{\dagger }S=1$

hvor $S^{\dagger }$ betegner den hermitisk adjungerte operatoren. Det tilsvarer den konjugert-transponerte matrisen. Dette kravet til S-operatoren omtales som «unitaritet» og gjelder for all fundamental fysikk.

For å kunne benytte S-operatoren til praktiske beregninger, skrives den som

$S=1+iT$

hvor operatoren T omtales som en overgangsoperator og inneholder selve spredningsamplituden. Unitariteten til S-operatoren betyr nå at denne alternative operatoren må oppfylle kravet

$T-T^{\dagger }=iT^{\dagger }T$

Hvis man nå tar et diagonalt matriseelement av denne relasjonen for en viss tilstand, vil venstresiden kunne uttrykkes ved den imaginære spredningsampliituden for fremover-spredning av partiklene i denne tilstanden. Samtidig kan man innsette et fullstendig sett med tilstander mellom de to operatorene på høyresiden som dermed kan uttrykkes ved det totale virkninggstverrsnittet. Dermed står man igjen med en generell formulering av det optiske teoremet som kan føres tilbake til Heisenberg.