Wielokąt: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Aktualna wersja na dzień 10:19, 3 lis 2024

Ten artykuł od 2012-05 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Wielokąt, wielobok^[1] – różnie definiowany typ figury geometrycznej:

w sensie najszerszym jest to dowolna zamknięta linia łamana^[1];
czasem wymaga się dodatkowo, by była to łamana płaska^[1]^[2];
dodatkowym założeniem może być, że jest to łamana zwyczajna^[1];
wielokątem nazywa się też obszar płaszczyzny ograniczony łamaną zwyczajną^[1]^[2]; w tym wypadku jest to spójny zbiór stanowiący sumę skończonej liczby trójkątów zdefiniowanych jako sympleksy danej przestrzeni dwuwymiarowej^{[potrzebny przypis]}.

Wielokąty, tak jak inne łamane, można definiować nie tylko na płaszczyźnie euklidesowej. Odcinkiem jest w ogólności linia geodezyjna – najkrótsza w sensie metryki danej przestrzeni. Przykładowo dla sfery odcinkiem jest ortodroma – łuk okręgu wielkiego przechodzącego przez dane dwa punkty sfery. Utworzone z ortodrom wielokąty sferyczne różnią się własnościami od wielokątów euklidesowych, co opisano niżej.

Wielokąt (ang. polygon) – także pojęcie w grafice komputerowej określające część siatki trójwymiarowej.

Typy

Wyróżnia się nieskończenie wiele odmian wielokątów:

trójkąty, czworokąty itp. typy zdefiniowane liczbą boków;
wielokąty płaskie to te, które da się umieścić na płaszczyźnie^[1];
wielokąty zwyczajne to te będące łamanymi zwyczajnymi – pozbawione przecięć^[1];
pozostałe wielokąty nazywa się wiązanymi^[1];
wśród wielokątów zwyczajnych wyróżnia się wielokąty wypukłe – nie przecinają się w nich nie tylko boki, ale też ich przedłużenia^[1];
pozostałe wielokąty nazywa się wklęsłymi^[1];
nazwano też wielokąty foremne, gwiaździste i monotniczne.

Własności

Dla wielokąta płaskiego o $n$ bokach suma kątów wewnętrznych wynosi: $(n-2)\cdot \pi$ radianów = $(n-2)\cdot 180^{\circ }$ ^[3]. Twierdzenie to nie obowiązuje na sferze – dla trójkąta sferycznego odpowiednia suma zawsze przekracza $\pi$ radianów i ściśle związana z jego polem powierzchni^{[potrzebny przypis]}.

Uogólnienia

Odpowiednikiem wielokąta w przestrzeni trójwymiarowej $\mathbb {R} ^{3}$ i ogólnie w przestrzeniach liniowych jest wielościan lub wielotop.

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j wielokąt, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-02] .
↑ ^a ^b Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polygon, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-02].
↑ Wielokąt, wielobok [online], www.math.edu.pl [dostęp 2020-11-08] .

Linki zewnętrzne

JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Jesienne wielokąty, „Delta”, listopad 2009, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
Polygon (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-02].

[epwn-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j wielokąt, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-02] .

[mw-2] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polygon, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-02].

[:0-3] Wielokąt, wielobok [online], www.math.edu.pl [dostęp 2020-11-08] .

[1]

[2]

[3]

@@ Linia 3: / Linia 3: @@
 '''Wielokąt''', '''wielobok'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3995779 | tytuł = wielokąt | data dostępu = 2023-12-02 }}</ref> – różnie definiowany typ [[Figura geometryczna|figury geometrycznej]]:
 * w sensie najszerszym jest to dowolna zamknięta [[linia łamana]]<ref name="epwn" />;
-* czasem wymaga się dodatkowo, by była to łamana [[Płaszczyzna|płaska]]<ref name="epwn" />;
+* czasem wymaga się dodatkowo, by była to łamana [[Płaszczyzna|płaska]]<ref name="epwn" /><ref name="mw">{{MathWorld | adres = Polygon | tytuł = Polygon }} [dostęp 2023-12-02].</ref>;
 * dodatkowym założeniem może być, że jest to [[łamana zwyczajna]]<ref name="epwn" />;
-* wielokątem nazywa się też obszar płaszczyzny ograniczony łamaną zwyczajną<ref name="epwn" />.
+* wielokątem nazywa się też obszar płaszczyzny ograniczony łamaną zwyczajną<ref name="epwn" /><ref name="mw" />; w tym wypadku jest to [[Przestrzeń spójna|spójny zbiór]] stanowiący [[suma zbiorów|sumę]] skończonej liczby [[trójkąt]]ów zdefiniowanych jako [[Sympleks (matematyka)|sympleks]]y danej przestrzeni dwuwymiarowej{{fakt|data=2023-12}}.
+Wielokąty, tak jak inne łamane, można definiować nie tylko na płaszczyźnie [[Geometria euklidesowa|euklidesowej]]. Odcinkiem jest w ogólności [[linia geodezyjna]] – najkrótsza w sensie [[przestrzeń metryczna|metryki]] danej przestrzeni. Przykładowo dla [[sfera|sfery]] odcinkiem jest [[ortodroma]] – łuk [[Koło wielkie|okręgu wielkiego]] przechodzącego przez dane dwa punkty sfery. Utworzone z ortodrom [[Wielokąt sferyczny|wielokąty sferyczne]] różnią się własnościami od wielokątów euklidesowych, co opisano niżej.
-Boki tej łamanej nazywa się bokami wielokąta, zaś jej wierzchołki nazywamy wierzchołkami wielokąta<ref name=":0">{{Cytuj |tytuł = Wielokąt, wielobok |data dostępu = 2020-11-08 |opublikowany = www.math.edu.pl |url = http://www.math.edu.pl/wielokaty}}</ref>.
-Wielokąty, tak jak inne łamane, można definiować nie tylko na płaszczyźnie [[Geometria euklidesowa|euklidesowej]]. Odcinkiem jest w ogólności [[linia geodezyjna]] – najkrótsza w sensie [[przestrzeń metryczna|metryki]] danej przestrzeni. Przykładowo dla [[sfera|sfery]] odcinkiem jest łuk [[koło wielkie|koła wielkiego]] przechodzącego przez dane dwa punkty sfery. [[wielokąt sferyczny|Wielokąty sferyczne]] mają ciekawe własności, na przykład suma kątów wewnętrznych [[trójkąt sferyczny|trójkąta sferycznego]] jest zawsze większa od <math>\pi</math> i ściśle związana z jego powierzchnią{{fakt|data=2023-12}}.
 '''Wielokąt''' ([[język angielski|ang.]] '''polygon''') – także pojęcie w grafice komputerowej określające część [[siatka (grafika 3D)|siatki trójwymiarowej]].
+== Typy ==
+Wyróżnia się nieskończenie wiele odmian wielokątów:
+* trójkąty, [[czworokąt]]y itp. typy zdefiniowane liczbą boków;
+* '''wielokąty płaskie''' to te, które da się umieścić na płaszczyźnie<ref name="epwn" />;
+* '''wielokąty zwyczajne''' to te będące łamanymi zwyczajnymi – pozbawione przecięć<ref name="epwn" />;
+* pozostałe wielokąty nazywa się '''wiązanymi'''<ref name="epwn" />;
+* wśród wielokątów zwyczajnych wyróżnia się '''wielokąty wypukłe''' – nie przecinają się w nich nie tylko boki, ale też ich przedłużenia<ref name="epwn" />;
+* pozostałe wielokąty nazywa się '''wklęsłymi'''<ref name="epwn" />;
+* nazwano też wielokąty [[Wielokąt foremny|foremne]], [[Wielokąt gwiaździsty|gwiaździste]] i [[Wielokąt monotoniczny|monotniczne]].
 == Własności ==
-Suma [[kąt wewnętrzny|kątów wewnętrznych]] wielokąta płaskiego o <math>n</math> bokach: <math>(n-2)\cdot \pi</math> radianów = <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math><ref name=":0" />.
+Dla wielokąta płaskiego o <math>n</math> bokach suma [[Kąt wewnętrzny|kątów wewnętrznych]] wynosi: <math>(n-2)\cdot \pi</math> radianów = <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math><ref name=":0">{{Cytuj |tytuł = Wielokąt, wielobok |data dostępu = 2020-11-08 |opublikowany = www.math.edu.pl |url = http://www.math.edu.pl/wielokaty}}</ref>. Twierdzenie to nie obowiązuje na [[Sfera|sferze]] – dla [[Trójkąt sferyczny|trójkąta sferycznego]] odpowiednia suma zawsze przekracza <math>\pi</math> radianów i ściśle związana z jego [[Pole powierzchni|polem powierzchni]]{{fakt|data=2023-12}}.
 == Uogólnienia ==
 Odpowiednikiem wielokąta w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]] <math>\mathbb R^3</math> i ogólnie w [[przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]] jest [[wielościan]] lub [[Wielokomórka|wielotop]].
-Wychodząc z [[topologia|topologicznej]] definicji wielościanu, wielokąt można też ogólnie zdefiniować jako [[Przestrzeń spójna|spójny zbiór]] stanowiący [[suma zbiorów|sumę]] skończonej liczby trójkątów, gdzie trójkąt definiujemy jako [[Sympleks (matematyka)|simpleks]] danej przestrzeni dwuwymiarowej.
 == Zobacz też ==
+{{wikisłownik|wielokąt}}
 * [[wzór Picka]]
 * [[Przekątna|przekątna wielokąta]]
@@ Linia 27: / Linia 34: @@
 == Przypisy ==
 {{Przypisy}}
+== Linki zewnętrzne ==
+* {{Pismo Delta | url = 2009/11/jesienne-wielokaty/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Jesienne wielokąty | data = listopad 2009 | data dostępu = 2024-11-01 }}
+* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Polygon Polygon]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-02].
 {{wielokąty}}