Rozkład Benforda

Rozkład Benforda

Rozkład Benforda – rozkład prawdopodobieństwa występowania określonej pierwszej cyfry w wielu rzeczywistych danych statystycznych, np. dotyczących powierzchni jezior, danych z rocznika statystycznego, wartościach stałych fizycznych. Ogólnie rozkład ten sprawdza się w przypadku wielkości, które mogą przyjmować różne rzędy wielkości. Fakt częstego występowania tego rozkładu w obserwowanych danych zwany jest prawem Benforda.

Prawdopodobieństwo wystąpienia cyfry $k$ to

$P_{k}=\log _{10}{\frac {k+1}{k}}=\log _{10}(1+{\frac {1}{k}})$

Przykład rozkładu wielkości, gdzie pierwsza cyfra spełnia w przybliżeniu prawo Benforda. Czerwony obszar odpowiada cyfrze 1, niebieski cyfrze 8.

Rozkłady wielkości, które obejmują tylko jeden rząd wielkości, zwykle nie spełniają prawa Benforda.

Rozkład Benforda jest stosowany do sprawdzania poprawności zeznań podatkowych bądź defraudacji, gdyż ludzie wpisując liczby tak, żeby wydawały się przypadkowe, nie są świadomi, że pewne cyfry występują częściej na pierwszej pozycji.

Częstotliwości występowania cyfr na pierwszej pozycji są przedstawione w tabeli poniżej.

Pierwsza cyfra	Częstość
1	30,1%
2	17,6%
3	12,5%
4	9,7%
5	7,9%
6	6,7%
7	5,8%
8	5,1%
9	4,6%

Historia

Charakterystyczna zależność została po raz pierwszy odnotowana w 1881 roku przez kanadyjskiego astronoma i matematyka Simona Newcomba. Przebywając w bibliotece United States Naval Observatory, Newcomb zauważył, że strony tablic logarytmicznych są brudniejsze na początku i coraz czystsze na dalszych kartkach. Wywnioskował, że korzystający z tablic logarytmicznych częściej szukają liczb rozpoczynających się od niższych cyfr – te znajdują się na początku tablic. Swoje odkrycie (bez dowodu ogólnej prawidłowości) opublikował na stronach American Journal of Mathematics. Jego artykuł nie spotkał się jednak z szerokim zainteresowaniem i niezwykle ciekawe zjawisko zostało zapomniane na 57 lat.

W 1938 roku Frank Benford, inżynier General Electric, nie zdając sobie sprawy z istnienia pracy Newcomba, dokonał tego samego odkrycia na podstawie stanu czystości tablic logarytmicznych. Zafascynowany tym zjawiskiem, Benford zaczął sprawdzać, czy jego teoria znajduje potwierdzenie również w innych zbiorach danych, m.in. w powierzchniach rzek, liczbach drukowanych w gazetach, czy nawet cenach. Wyniki swoich badań przedstawił w artykule wydrukowanym w Proceedings of the American Philosophical Society. Podobnie jak w artykule Newcomba, formalny dowód nie został przedstawiony.

Dowód twierdzenia podał w 1995 roku Theodore Hill.

Przykłady zastosowania

Defraudacja Jamesa Nelsona

Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki.

• oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całym procederze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły,
• większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów,
• wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot.

Wybory prezydenckie w Iranie 2009

Boudewijn F. Roukema z toruńskiego Uniwersytetu Mikołaja Kopernika zaobserwował, iż rozkład pierwszych cyfr liczby głosów oddanych w wyborach w Iranie w 2009 roku w poszczególnych okręgach na kandydata małej partii opozycyjnej Mehdiego Karroubiego nie zgadza się z rozkładem Benforda – wśród pierwszych cyfr dwukrotnie częściej niż powinna pojawia się siódemka (poziom istotności 0,007). Anomalie występują w trzech z sześciu największych okręgów i są to właśnie okręgi, w których aktualny prezydent Mahmud Ahmadineżad miał proporcjonalnie wyższe poparcie niż w reszcie kraju. Jednakże statystycy Nate Silver i Andrew Gelman wyrazili sceptycyzm w kwestii znaczenia tego wyniku.

Zastosowanie podczas egzaminów

Badacze podejrzewali, że gdy poradzą studentom, aby na teście wielokrotnego wyboru z fizyki sugerowali się rozkładem Benforda, to osiągną oni nieprzeciętnie dobre wyniki. Tak się jednak nie stało, gdyż okazało się, że niepoprawne odpowiedzi również spełniają rozkład Benforda. Naukowcy nie wiedzą, dlaczego.

Fizyka kwantowa

Rozkład Benforda częściej daje poprawne wyniki zachowania przejść fazowych w kwantowych modelach XY niż inne teorie (wykorzystują one magnetyzację, splątanie kwantowe czy kwantową niezgodę („quantum discord”).

Zobacz też

• prawo Zipfa

Bibliografia

• Roman J.R.J. Nowak Roman J.R.J., Statystyka dla fizyków, Warszawa: PWN, 2002, ISBN 83-01-13702-9, OCLC 68632451 . Brak numerów stron w książce