Przejdź do zawartości

Rozkład hipergeometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Rozkład hipergeometryczny
Parametry

Nośnik

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

Wartość oczekiwana (średnia)

Moda

Wariancja

Współczynnik skośności

Kurtoza

Funkcja tworząca momenty

Funkcja charakterystyczna

Rozkład hipergeometrycznydyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.

Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów (-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w -elementowej próbie, czyli pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości , w której znajduje się dokładnie obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka[1].

Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast (wielkości całej populacji) parametrem jest (liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji)[2].

Funkcja masy prawdopodobieństwa

[edytuj | edytuj kod]

Zmienna losowa ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem[3]

gdzie

  • to wielkość populacji,
  • to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
  • to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
  • to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
  • to symbol Newtona.

Wzór ten stosuje się dla k, takich że. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa wynoszą zero.

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami , , . Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:

zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:

Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami , , . W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. 2 popr., rozsz., (dodr.), Warszawa: "Script", 2001, s. 16, ISBN 978-83-904564-5-4.
  2. R: The Hypergeometric distribution [online], search.r-project.org [dostęp 2024-06-19].
  3. John A. Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis. Wyd. Third. Duxbury Press, 2007, s. 42.