Przejdź do zawartości

Element absorbujący

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowym[1][2], ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem z określonym na zbiorze zamkniętym działaniem dwuargumentowym (grupoid). Element absorbujący (zerowy) jest to taki element że dla każdego należącego do Wyróżnia się pojęcie[2] zera lewego, gdy wymagane jest jedynie oraz zera prawego, gdzie wymagane jest tylko

Elementy absorbujące są szczególnie ciekawe w półgrupach, zwłaszcza w multiplikatywnych półgrupach półpierścienia. W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu absorbującego jest czasem uproszczona tak, że nie jest wymagane by element absorbował 0; wystarcza by 0 było jedynym absorbującym elementem[3].

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Jeśli grupoid ma zarówno lewe, jak i prawe zero, to ma zero, ponieważ
  • Jeśli grupoid posiada zero, to ma je tylko jedno.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Najlepiej znanym przykładem elementu absorbującego w algebrze jest mnożenie, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero. Zero jest więc elementem absorbującym.
  • W arytmetyce zmiennoprzecinkowej, według definicji standardu IEEE-754, istnieje wartość „NaN” (z ang. Not A Number; nieliczba). Jest ona elementem absorbującym każdej operacji; np.: x + NaN = NaN + x = NaN, x – NaN = NaN – x = NaN itd.
  • Zbiór działań dwuargumentowych na zbiorze razem ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie element zerowy jest relacją pustą (zbiorem pustym).
  • Zbiór zamknięty gdzie jest również monoidem z zerem, w którym elementem absorbującym jest 0.
  • Więcej przykładów:
Zbiór Operacja Element absorbujący
liczby rzeczywiste (mnożenie) 0
liczby całkowite największy wspólny dzielnik 1
macierze kwadratowe (mnożenie) macierz zerowa
zbiory (część wspólna) (zbiór pusty)
podzbiory zbioru (suma)
logika Boole’a (koniunkcja) (fałsz)
logika Boole’a (alternatywa) (prawda)

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. J.M. Howie, s. 2–3.
  2. a b M. Kilp, U. Knauver, A.V. Mikhalev, s. 14–15.
  3. J.S. Golan, s. 67.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • John Mackintosh Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford: Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9, OCLC 32969870.
  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]