Grupa Hopfa

Grupa Hopfa – grupa, która nie jest izomorficzna ze swoją grupą ilorazową przez nietrywialną podgrupę normalną. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Hopfa.

Definicja

Grupę $G$ nazywamy grupą Hopfa, jeżeli każdy epiendomorfizm w $G$ jest automorfizmem.

Grupa $G$ nie jest grupą Hopfa (non-Hopfian group), jeżeli istnieje taki epiendomorfizm w $G,$ który nie jest automorfizmem (posiada nietrywialne jądro $N$).

Niech $G$ będzie dowolną grupą oraz $H$ jej nietrywialną podgrupą. Jeżeli $G\simeq G/H,$ to grupa $G$ nie jest grupą Hopfa.

Przykłady

• Każda skończona grupa jest grupą Hopfa.
• Skończenie generowana rezydualnie skończona grupa jest grupą Hopfa.
• Skończona wolna polinilpotentna grupa jest grupą Hopfa.
• Grupa wolna skończenie generowana jest grupą Hopfa.
• Grupa wolna nieskończenie generowana nie jest grupą Hopfa.
• $\mathbb {C} _{p^{\infty }}\simeq \mathbb {C} _{p^{\infty }}/\mathbb {C} _{p},$ gdzie $\mathbb {C} _{p}$ jest grupą pierwiastków z jedynki stopnia $p$ będącego liczbą pierwszą.
• $C^{*}/\{1,-1\}\simeq C^{*}.$

Zobacz też

• grupa ilorazowa

Bibliografia

• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
• A. Karras, W. Magnus, D. Solitar, Combinatorial group theory, John Wiley & Sons, 1966.
• H. Neumann, Varieties of groups, Springer-Verlag, New York, 1967.