Pochodna Gâteaux

Pochodna Gâteaux lub różniczka Gâteaux, czyt. ~ ˈ ɡ a .t ɔ ( odsłuchaj) – uogólnienie pojęcia pochodnej kierunkowej znanego z rachunku różniczkowego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, René Gâteaux. Pochodną tę definiuje się w przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych takich jak przestrzenie Banacha. Podobnie jak pochodna Frécheta, pochodna Gâteaux służy często sformalizowaniu pochodnej funkcjonalnej używanej powszechnie w rachunku wariacyjnym i fizyce.

W przeciwieństwie do innych rodzajów pochodnych, różniczka Gâteaux funkcji może być nieliniowa. Często w definicji różniczki Gâteaux wymaga się jednak, by była przekształceniem liniowym nieciągłym. Niektórzy autorzy, np. Tichomirow^[1], odróżniają różniczkę Gâteaux (która może być nieliniowa) od pochodnej Gâteaux (o której zakładają, iż jest liniowa). W większości zastosowań ciągłość liniowa wynika z pierwotniejszego, a przy tym naturalnego w danej sytuacji warunku, np. założenie różniczkowalności zespolonej w kontekście nieskończeniewymiarowej holomorficzności czy różniczkowalności w sposób ciągły w analizie nieliniowej.

Definicja

Niech $X$ oraz $Y$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi (np. przestrzeniami Banacha), dany zbiór otwarty $U\subseteq X$ oraz funkcja $F\colon X\to Y.$ Różniczkę Gâteaux $\operatorname {d} F(u;\psi )$ funkcji $F$ w punkcie $u\in U$ i kierunku $\psi \in X$ definiuje się jako

\operatorname {d} \!F(u;\psi )=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0},

o ile granica ta istnieje. Jeżeli istnieje ona dla wszystkich $\psi \in X,$ to mówi się, że $F$ jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie $u.$

Granicę w definicji wzięto w sensie topologii $Y.$ Jeżeli $X$ i $Y$ są rzeczywistymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, to $\tau$ w granicy są wartościami rzeczywistymi. Z drugiej strony, jeżeli przestrzenie te są zespolone, to w powyższej granicy przyjmuje się $\tau \to 0$ na płaszczyźnie zespolonej, jak ma to miejsce w definicji różniczki zespolonej. W pewnych przypadkach zamiast mocnej granicy bierze się w zamian słabą granicę, co prowadzi do pojęcia słabej pochodnej Gâteaux.

Liniowość i ciągłość

W każdym punkcie $u\in U$ różniczka Gâteaux definiuje funkcję

\operatorname {d} \!F(u;\cdot )\colon X\to Y.

Jest ona jednorodna w tym sensie, iż dla wszystkich skalarów $\alpha$ zachodzi równość

\operatorname {d} \!F(u;\alpha \psi )=\alpha \operatorname {d} \!F(u;\psi ).

Funkcja ta nie musi być jednak addytywna, tak więc w przeciwieństwie do różniczki Frécheta różniczka Gâteaux może nie być liniowa. Nawet jeżeli będzie ona liniowa, to może nie zależeć w sposób ciągły od $\psi ,$ co może mieć miejsce, gdy $X$ oraz $Y$ są nieskończeniewymiarowe. Co więcej, istnieje kilka nierównoważnych sposobów określenia różniczkowalności w sposób ciągły tych różniczek Gâteaux, które są liniowe i ciągłe w $\psi .$

Niech dana będzie na przykład funkcja $F$ dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych określona wzorem

F(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}},&{\mbox{gdy }}(x,y)\neq (0,0);\\0,&{\mbox{gdy }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}

Jest ona różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie $(0,0),$ przy czym jej różniczką w tym punkcie jest

\operatorname {d} \!F(0,0;a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&{\mbox{dla }}(a,b)\neq (0,0);\\0&{\mbox{dla }}(a,b)=(0,0).\end{cases}}

Wprawdzie jest ona ciągła, ale nie jest liniowa ze względu na argumenty $(a,b).$ W przypadku nieskończeniewymiarowym dowolny funkcjonał liniowy nieciągły jest różniczkowalny w sensie Gâteaux; choć jego różniczka Gâteaux w $0$ jest liniowa, to jednak nie jest ciągła.

Związek z pochodną Frécheta

Jeżeli $F$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta, to jest różniczkowalna także w sensie Gâteaux, przy czym pochodne te są równe. Sytuacja odwrotna w ogólności nie zachodzi, ponieważ pochodna Gâteaux może nie być liniowa lub ciągła. W rzeczywistości jest nawet możliwe, by pochodna Gâteaux była tak liniowa, jak i ciągła, ale pochodna Frécheta nie istniała.

Jednakże dla funkcji $F$ z zespolonej przestrzeni Banacha $X$ w inną zespoloną przestrzeń Banacha $Y$ pochodna Gâteaux (gdzie granica brana jest przy zespolonym parametrze $\tau$ zbiegającym do zera jak to jest w definicji różniczkowalności zespolonej) jest koniecznie liniowa, o czym mówi twierdzenie Zorna^[2]. Więcej, jeżeli $F$ jest różniczkowalna w (zespolonym) sensie Gâteaux w każdym punkcie $u\in U,$ gdzie pochodna dana jest wzorem

\operatorname {d} \!F(u)\colon \psi \mapsto \operatorname {d} \!F(u;\psi ),

to $F$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta na $U,$ a jej różniczką Frécheta jest $\operatorname {d} \!F$ ^[3]. Jest to odpowiednik wyniku elementarnej analizy zespolonej, mianowicie: funkcja jest analityczna, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym na zbiorze otwartym; przy czym jest to podstawowym wynik holomorficzności nieskończeniewymiarowej.

Różniczkowalność w sposób ciągły

Różniczkowalność w sensie Gâteaux w sposób ciągły może być określona na dwa nierównoważne sposoby. Niech $F\colon U\to Y$ będzie różniczkowalna w sensie Gâteaux w każdym punkcie zbioru otwartego $U.$ Jedno z podejść do różniczkowalności w sposób ciągły na $U$ wymaga, aby odwzorowanie z przestrzeni produktowej

\operatorname {d} \!F\colon U\times X\to Y

było ciągłe. Założenie liniowości jest zbędne: jeżeli $X$ oraz $Y$ są przestrzeniami Frécheta, to $\operatorname {d} \!F(u;\cdot )$ jest automatycznie ograniczone i liniowe dla wszystkich $u$ ^[4].

W mocniejszym z pojęć różniczkowalności w sposób ciągły wymaga się, aby

u\mapsto \operatorname {d} \!F(u)

było odwzorowaniem ciągłym

U\to \operatorname {L} (X,Y)

z $U$ w przestrzeń ciągłych funkcji liniowych z $X$ w $Y.$ Należy zauważyć, że czyni to zadość liniowości $\operatorname {d} \!F(u).$

Ze względu na to, że drugie pojęcie jest dogodniejsze technicznie, to właśnie je zwykle (lecz nie zawsze) stosuje się w przypadku, gdy przestrzenie $X$ i $Y$ są Banacha, ponieważ wtedy $\operatorname {L} (X,Y)$ również jest Banacha, co umożliwia posiłkowanie się metodami analizy funkcjonalnej. Pierwszą z definicji spotyka się częściej w tych obszarach analizy nieliniowej, w których rozpatrywane przestrzenie funkcyjne niekoniecznie są Banacha. Na przykład różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta ma zastosowania takie jak twierdzenie Nasha-Mosera o funkcji odwrotnej, w którym rozważane przestrzenie funkcyjne często składają się z funkcji gładkich określonych na rozmaitości.

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne Frécheta wyższych rzędów definiuje się w sposób naturalny jako funkcje wieloliniowe ze względu na iterację przy pomocy izomorfizmów $\operatorname {L} ^{n}(X,Y)=\operatorname {L} (X,\operatorname {L} ^{n-1}(X,Y)).$ Pochodnych Gâteaux wyższych rzędów nie można jednak definiować w ten sposób, w zamian pochodną Gâteaux $n$ -tego rzędu funkcji $F\colon U\subseteq X\to Y$ w kierunku $h$ definiuje się jako

\operatorname {d} ^{n}\!F(u;h)=\left.{\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} \!\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}.

Choć funkcja ta nie jest ona wieloliniowa, to jest ona jednorodna stopnia $n$ w punkcie $h.$

Innym kandydatem na definicję pochodnej wyższego rzędu jest funkcja

\operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {\operatorname {D} \!F(u+\tau k)h-\operatorname {D} \!F(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0},

która pojawia się w naturalny sposób w rachunku wariacyjnym jako druga wariacja funkcji $F,$ przynajmniej w przypadku szczególnym, gdy $F$ ma wartości skalarne. Może ona jednak nie mieć żadnych rozsądnych własności poza jednorodnością oddzielnie ze względu na każdy z parametrów $h$ oraz $k.$ Dogodne są wtedy dodatkowe warunki dostateczne zapewniające o tym, że $\operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}$ jest symetryczną funkcją dwuliniową zmiennych $h$ i $k$ oraz że zgadza się ona z polaryzacją $\operatorname {d} ^{n}\!F.$

Na przykład spełniony jest następujący warunek dostateczny^[4]. Niech $F$ będzie klasy $C^{1}$ w sensie, iż odwzorowanie

\operatorname {D} \!F\colon U\times X\to Y

jest ciągłe względem topologii produktowej i, co więcej, że druga pochodna określona powyższym wzorem jest również ciągła w tym sensie, iż odwzorowanie

\operatorname {D} ^{2}\!F\colon U\times X\times X\to Y

jest ciągłe. Wówczas przekształcenie $\operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}$ jest dwuliniowe i symetryczne ze względu na $h$ i $k.$ Tożsamość polaryzacyjna jest spełniona na mocy dwuliniowości:

\operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {d} ^{2}\!F(u;h+k)-\operatorname {d} ^{2}\!F(u;h)-\operatorname {d} ^{2}\!F(u;k),

wiążąc pochodną drugiego rzędu $\operatorname {D} ^{2}\!F(u)$ z różniczką $\operatorname {d} ^{2}\!F(u,\cdot ).$ Podobne wnioski są prawdziwe dla pochodnych wyższych rzędów.

Własności

Dla funkcji $F,$ o której przyjmie się, iż jest dostatecznie różniczkowalna w sposób ciągły, zachodzi pewna wersja podstawowego twierdzenia rachunku całkowego; dokładniej:

Twierdzenie podstawowe

Niech $F\colon X\to Y$ będzie klasy $C^{1}$ w tym sensie, iż pochodna Gâteaux jest funkcją ciągłą $\operatorname {d} \!F\colon U\times X\to Y.$ Wówczas dla dowolnych $u\in U$ oraz $h\in X$ jest

F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}\operatorname {d} \!F(u+th;h)\,\operatorname {d} \!t,

gdzie symbol całki oznacza całkę Gelfanda-Pettisa (słabą całkę).

Z powyższego wynika także wiele znanych, porządnych własności pochodnej – w tym wieloliniowość i przemienność pochodnych wyższego stopnia. Innymi własnościami, również wynikającymi z twierdzenia podstawowego, są:

Reguła łańcuchowa: $\operatorname {d} \!(G\circ F)(u;x)=\operatorname {d} \!G(F(u);\operatorname {d} \!F(u;x))$

dla dowolnych $u\in U$ oraz $x\in X.$

Twierdzenie Taylora z resztą

Niech odcinek między $u\in U$ a $u+h$ zawiera się całkowicie w $U.$ Wówczas jeżeli $F$ jest klasy $C^{k},$ to

F(u+h)=F(u)+\operatorname {d} \!F(u;h)+{\tfrac {1}{2!}}\operatorname {d} ^{2}\!F(u;h)+\ldots +{\tfrac {1}{(k-1)!}}\operatorname {d} ^{k-1}\!F(u;h)+R_{k},

gdzie wyraz reszty dany jest jako

R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}\operatorname {d} ^{k}\!F(u+th;h)\,\operatorname {d} \!t.

Przykłady

Niech $X$ będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem określonych na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a $\Omega$ przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}.$ Funkcjonał

E\colon X\to \mathbb {R}

dany wzorem

E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)\operatorname {d} \!x,

gdzie $F$ jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, przy czym $F'=f,$ a $u$ przyjmująca wartości rzeczywiste jest określona na $\Omega ,$ ma pochodną Gâteaux

\operatorname {d} \!E(u,\psi )=\langle f(u),\psi \rangle .

Rzeczywiście,

{\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )\operatorname {d} \!x-\int _{\Omega }F(u)\operatorname {d} \!x\right)\\&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!s}}F(u+s\tau \psi )\,\operatorname {d} \!s\,\operatorname {d} \!x\right)\\&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,\operatorname {d} \!s\,\operatorname {d} \!x.\end{aligned}}

Jeżeli $\tau \to 0$ w powyższej równości, to pochodna Gâteaux

\operatorname {d} \!E(u,\psi )=\int _{\Omega }f{\big (}u(x){\big )}\psi (x)\,\operatorname {d} \!x,

jest iloczynem wewnętrznym $\langle f,\psi \rangle .$

Zobacz też

Przypisy

↑ hasło: „Gâteaux variation”. W: V.M. Tikhomirov: Encyclopaedia of Mathematics. Hazewinkel, Michiel: Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104.
↑ Max Zorn. Characterization of analytic functions in Banach spaces. „Annals of Mathematics. Second Series”. 46, s. 585–593, 1945. ISSN 0003-486X. MSN 0014190.
↑ Max Zorn. Derivatives and Frechet differentials. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 52 (2), s. 133–137, 1946. DOI: 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9. MR 0014595.
↑ ^a ^b Hamilton, R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser. „Bull. AMS.”. 7 (1), s. 65–222, 1982. DOI: 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2. MR 656198.

Bibliografia

René Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. „Comptes rendus de l’academie des sciences”. 157, s. 325–327, 1913. Paryż. [dostęp 2006-07-30].
René Gâteaux. Fonctions d’une infinité de variables indépendantes. „Bulletin de la Société Mathématique de France”. 47, s. 70–96, 1919.
Einar Hille, Ralph S. Phillips: Functional analysis and semi-groups. Providence, RI: American Mathematical Society, 1974. MSN 0423094.

[1] sło: „Gâteaux variation”. W: V.M. Tikhomirov: Encyclopaedia of Mathematics. Hazewinkel, Michiel: Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104.

[2] Max Zorn. Characterization of analytic functions in Banach spaces. „Annals of Mathematics. Second Series”. 46, s. 585–593, 1945. ISSN 0003-486X. MSN 0014190.

[3] Max Zorn. Derivatives and Frechet differentials. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 52 (2), s. 133–137, 1946. DOI: 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9. MR 0014595.

[Hamilton1982-4] Hamilton, R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser. „Bull. AMS.”. 7 (1), s. 65–222, 1982. DOI: 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2. MR 656198.

[1]

[2]

[3]

[4]