Przejdź do zawartości

Równanie parametryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiarowe

[edytuj | edytuj kod]

Parabola

[edytuj | edytuj kod]

Równanie paraboli

można sparametryzowane za pomocą parametru :

,
,

gdzie .

Okrąg

[edytuj | edytuj kod]

Równania parametryczne okręgu o promieniu mają postać:

,
,

gdzie .

Każda krzywa opisana wzorem funkcji

[edytuj | edytuj kod]

Rozszerzenie przykładu paraboli. Jeśli krzywą można opisać równaniem , to równania parametryczne będą mogły przyjmować formę:

.

Przykłady trójwymiarowe

[edytuj | edytuj kod]

Helisa

[edytuj | edytuj kod]
Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

gdzie

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu która wznosi się o co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

Powierzchnie parametryczne

[edytuj | edytuj kod]
Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów

gdzie

Zastosowanie

[edytuj | edytuj kod]

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania

[edytuj | edytuj kod]

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej z równań Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne oraz Jeśli i funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych oraz korzystając z jedynki trygonometrycznej:

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Parametric equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].