Ranga grupy abelowej

Ranga grupy abelowej – uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

Grupy abelowe są modułami nad pierścieniem liczb całkowitych, więc niżej przedstawiona definicja przenosi się wprost na moduły nad dowolnymi pierścieniami; z kolei odpowiednikiem rangi grupy abelowej wolnej jest ranga modułu wolnego.

Definicja

Niech $A$ oznacza dowolną grupę abelową. Rangą grupy $A$ nazywa się moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierającego wyłącznie elementy rzędu nieskończonego i rzędu będącego potęgą pewnej liczby pierwszej. Rangę grupy abelowej $A$ oznacza się zwykle symbolem ${\mbox{r}}(A).$

Moc układu zawierającego wyłącznie elementy nieskończonego rzędu w $A,$ który jest maksymalny względem tej własności nazywa się rangą beztorsyjną grupy $A$ i oznacza symbolem ${\mbox{r}}_{0}(A).$ Dla ustalonej liczby pierwszej $p$ i grupy abelowej $A$ definiuje się również liczbę kardynalną ${\mbox{r}}_{p}(A)$ jako moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierające elementy postaci $p^{k},$ gdzie $k$ jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.

Równoważnie rangę $\operatorname {r} (A)$ grupy $A$ można zdefiniować jako wymiar przestrzeni liniowej $A\otimes \mathbb {Q}$ (zob. iloczyn tensorowy) nad $\mathbb {Q} .$

Własności

• Ranga $\mathbb {Z} ^{n}$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ jest równa $n;$ ogólniej ranga grupy abelowej wolnej $\mathbb {Z} ^{(I)}$ nad zbiorem $I$ jest równa jego mocy.
• Grupa $\mathbb {Q} ^{n}$ jest rangi $n.$
• Równość $\operatorname {r} (A)=0$ pociąga za sobą fakt, iż $A$ musi być grupą trywialną. Z kolei $\operatorname {r} _{0}(A)=0$ oznacza, że $A$ jest torsyjna. Z drugiej strony dla grupy beztorsyjnej $A$ zachodzi równość $\operatorname {r} _{0}(A)=\operatorname {r} (A).$
• Ranga jest addytywna względem krótkich ciągów dokładnych: jeżeli $0\to A\to B\to C\to 0$ jest krótkim ciągiem dokładnym grup abelowych, to $\operatorname {r} (B)=\operatorname {r} (A)+\operatorname {r} (C).$
• Jeżeli $A_{\operatorname {T} }$ oraz $A_{\operatorname {T} _{p}}$ oznaczają odpowiednio podgrupę torsyjną i podgrupę p-torsyjną grupy $A,$ to zachodzą równości

  $\operatorname {r} _{0}(A)=\operatorname {r} \left(A/A_{\operatorname {T} }\right),$

  $\operatorname {r} _{p}(A)=\operatorname {r} \left(A_{\operatorname {T} _{p}}\right).$

• Ranga jest addytywna względem dowolnych sum prostych:

  $\operatorname {r} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {r} (A_{j}),$

gdzie prawa strona równości wyrażona jest w arytmetyce liczb kardynalnych; w szczególności z faktu, iż dowolna grupa daje się rozłożyć na część beztorsyjną i torsyjną, ta zaś na tzw. p-składowe wynika (na podstawie poprzedniej własności), że wszystkie trzy rodzaje rang łączy następująca relacja:

$\operatorname {r} (A)=\operatorname {r} _{0}(A)+\sum _{p\in \mathbb {P} }\operatorname {r} _{p}(A).$

• Rangi $\operatorname {r} (A),\operatorname {r} _{0}(A),\operatorname {r} _{p}(A)$ są niezmiennikami grupy $A.$ Z powyższych obserwacji wynika, że aby udowodnić niezmienniczość $\operatorname {r}$ wystarczy dowieść niezmienniczości $\operatorname {r} _{0}$ oraz $\operatorname {r} _{p},$ co z kolei na podstawie powyższych zależności oznacza, że wystarcza ograniczyć się do grup beztorsyjnych oraz p-grup.

Grupy wyższych rang

Ranga jest ważnym niezmiennikiem skończenie generowanych grup abelowych: każda taka grupa jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu przez jej rangę i jej część torsyjną (w szczególności każda skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest grupą abelową wolną). Do tej pory ukończono klasyfikację beztorsyjnych grup abelowych rangi 1. Teoria grup abelowych wyższej rangi, a więc opis niezmienników takich grup, nadal jest przedmiotem badań.

Grupy abelowe rangi większej niż 1 są źródłem wielu interesujących przykładów. Przykładowo dla każdej liczby kardynalnej $d$ istnieją beztorsyjne grupy abelowe rangi $d,$ które są nierozkładalne, tzn. nie mogą być wyrażone w postaci sumy prostej ich podgrup właściwych. Fakt ten ukazuje, że beztorsyjne grupy abelowe rangi większej niż 1 nie mogą być budowane z dobrze znanych beztorsyjnych grup abelowych rangi 1.

Co więcej, dla każdej liczby całkowitej $n>2$ istnieje beztorsyjna grupa rangi $2n-2,$ która ma rozkłady proste na $2$ oraz na $n$ nierozkładalnych składników. W ten sposób, dla grup rangi nie mniejszej niż $4$ nie można określić jednoznacznie nawet liczby składników nierozkładalnych.

Ograniczenie się do rozkładów prostych o ustalonej liczbie nierozkładalnych składników także nie daje jednoznaczności rozkładu prostego, co obrazuje uderzający wynik Cornera: dla danych liczb całkowitych $n\geqslant k\geqslant 1$ istnieje taka beztorsyjna grupa abelowa $A$ rangi $n,$ że dla dowolnego rozkładu $n=r_{1}+\dots +r_{k}$ na $k$ liczb naturalnych $r_{i}\geqslant 1$ dla $i=1,\dots ,k$ grupę $A$ można przedstawić w postaci sumy prostej $k$ nierozkładalnych podgrup o rangach $r_{1},\dots ,r_{k}.$ Oznacza to, że nawet ciąg rang składników nierozkładalnych danego rozkładu prostego beztorsyjnej grupy abelowej skończonej rangi nie może być niezmiennikiem $A.$

Innym zaskakującym przykładem jest twierdzenie Fuchsa i Loonstry mówiące, iż dla danej liczby całkowitej $m\geqslant 2$ istnieją dwie nierozkładalne, beztorsyjne grupy abelowe $A_{m}$ oraz $B_{m}$ rangi $2$ takie, że sumy proste $n$ ich egzemplarzy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ dzieli $n.$

Dla grup abelowych rangi nieskończonej istnieje przykład grupy $A$ i jej podgrupy $G$ o następujących własnościach:

• $A$ jest nierozkładalna;
• $A$ jest generowana przez $G$ i dowolny inny element (tzn. jest sumą, lecz nieprostą);
• dowolny niezerowy składnik prosty $G$ jest nierozkładalny.