Wielomiany Bernoulliego

Wielomiany Bernoulliego, nazwane na cześć Jakoba Bernoulliego, łączą w sobie liczby Bernoulliego i symbol Newtona. Są używane przy rozszerzaniu funkcji w nieskończone szeregi, a także we wzorze Eulera-Maclaurina.

Te wielomiany występują w badaniach wielu funkcji specjalnych, a szczególnie w rozważaniach nad funkcją dzeta Riemanna oraz funkcją dzeta Hurwitza. Wielomiany te stanowią ciąg Appella (np. ciąg Sheffera dla zwykłego operatora pochodnej). Liczba przecięć wielomianów Bernoulliego z osią odciętych w przedziale jednostkowym jest niezmienna niezależnie od stopnia wielomianu. Dla wysokich stopni wielomianów Bernoulliego granica jest zbliżona w przybliżeniu do funkcji sinus i cosinus.

Podobnym zbiorem wielomianów są wielomiany Eulera.

Postaci

Wielomiany Bernoulliego $B_{n}$ mogą zostać zdefiniowane za pomocą funkcji tworzącej. Mają również znaczną ilość innych postaci.

Funkcja tworząca dla wielomianów Bernoulliego prezentuje się następująco:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.

Odpowiednikiem tego wzoru dla wielomianów Eulera jest

{\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}x^{k},

E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k},

dla $n\geqslant 0,$ gdzie $B_{k}$ są liczbami Bernoulliego, a $E_{k}$ – liczbami Eulera.

Wielomiany Bernoulliego mogą zostać opisane wzorem:

B_{n}(x)={\frac {D}{e^{D}-1}}x^{n},

gdzie $D={\frac {d}{dx}}$ jest operatorem pochodnej po $x.$ Powyższy ułamek może zostać rozszerzony do szeregu potęg formalnych. Wynika z tego, że

\int _{a}^{x}B_{n}(u)du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}.

Używając operatora pochodnej, można również zapisać wielomiany Eulera w podobny sposób.

E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.

Wielomiany Bernoulliego są również unikalnym zbiorem wielomianów determinowanym równaniem

\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)du=x^{n}.

Używając transformacji całkowej zdefiniowanej jako

(Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)du

na wielomianach $f,$ można stwierdzić, że

(Tf)(x)={\frac {e^{D}-1}{D}}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {D^{n}}{(n+1)!}}f(x)=f(x)+{\frac {f'(x)}{2}}+{\frac {f''(x)}{6}}+{\frac {f'''(x)}{24}}+\dots

Wiedząc, że wielomiany Bernoulliego w postaci jawnej dane są jako

B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x+k)^{m}

można zauważyć podobieństwo tego wzoru do funkcji dzeta Hurwitza, a co za tym idzie, zapisać powyższy wzór za jej pomocą.

B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x).

Powyższy zapis rozszerza pojęcie wielomianów Bernoulliego o niecałkowite wartości liczby $n.$

Wiedząc, że wielomiany Bernoulliego w postaci jawnej dane są jako

B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x+k)^{m}.

Używając rachunku różnicowego, można zapisać jedną z sum w sposób następujący:

\Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}(x+k)^{m}.

Wiedząc, że $\Delta =e^{D}-1$ gdzie $D={\frac {d}{dx}},$ używając szeregu Merkatora, można zapisać:

{\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\ln(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Rozdział 23.)
Tom M. Apostol (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929. (Rozdział 12.11)
Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski (1995), New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments, Proceedings of the American Mathematical Society, 123 (5): 1527–1535
Jesus Guillera; Jonathan Sondow (2008), Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent, The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0
Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory, Cambridge tracts in advanced mathematics, Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.