Spassi vetorial

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ant l'àlgebra linear, në spassi vetorial (o spassi linear) a l'é na strutura algébrica ch'a përmet, tra l'àutr, ëd fé dle combinassion linear.

Dàit un camp K, në spassi vetorial E ansima a K a l'é në strop comutativ (dont l'operassion a l'é 'd sòlit denotà +) dotà ëd n'assion compatìbil ëd K. J'element d'E a son ciamà vetor, e j'element ëd K scalar.

La definission dë spassi vetorial

Ch'as consìdera un camp $\mathbb {K}$ . As dis $\mathbb {K}$ -spassi vetorial minca tripla $(E,+,\cdot )$ anté che:

$E$ a l'é n'ansem;
$(E,+)$ a l'é në strop;
$\cdot$ a l'é n'operassion (esterna) $K\times E\to E$ tal che

L'element unità "1" dël camp $\mathbb {K}$ a l'é element neutral a snistra për l'operassion "•":
$\forall \,u\in E,\quad 1\cdot u=u\,$ ;
L'operassion "•" a l'é distributiva a snistra an rapòrt a l'adission + ëd E:
$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall \,u\in E,\ \forall \,v\in E,\quad \lambda \cdot (u+v)=(\lambda \cdot u)+(\lambda \cdot v)\,$ ;
L'operassion "•" a l'é distributiva a drita an rapòrt a l'adission dël camp $\mathbb {K}$ :
$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall \,\mu \in \mathbb {K} ,\ \forall \,u\in E,\quad (\lambda +\mu )\cdot u=(\lambda \cdot u)+(\mu \cdot u)\,$ ;
L'operassion "•" a l'é omogenia an rapòrt a la multiplicassion dël camp $\mathbb {K}$ :
$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall \,\mu \in \mathbb {K} ,\ \forall \,u\in E,\quad (\lambda \cdot \mu )\cdot u=\lambda \cdot (\mu \cdot u)\,$ .

Ël nòm dël camp K a peul esse mensionà tanme agetiv davzin a spassi vetorial: në spassi vetorial rassional, real o compless a designa, rispetivaman, në spassi vetorial ansima a Q, ansima a R e ansima a C. Costa terminologìa as deuvra dzortut ant l'anàlisi.

Da j'assiòma sì-dzora a ven-o vàire proprietà:

L'element zero "0" dël camp $\mathbb {K}$ a l'é assorbent a snistra për l'operassion "•":
$\forall \,u\in E,\quad 0\cdot u=0\,$ ;

Dimostrassion:

Ch'as pija

u\in E

0\cdot u=(0+0)\cdot u

0\cdot u=0\cdot u+0\cdot u

(l'operassion "•" a l'é distributiva a drita)

Donca

0\cdot u=0

L'element nèutr ëd l'adission vetorial a l'é assorbent a drita për l'operassion "•":
$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\quad \lambda \cdot 0=0\,$ .

Soens, ij vetor a peulo esse denotà butandje na flecia ansima o scrivendje con dle litre an grassèt.

Sot-ëspassi vetorial

Un sot-ëspassi vetorial ëd në spassi vetorial E a l'é un sot-grop aditiv F d ' E stàbil rëspet a l'assion ëd K. An d'àutre paròle, la soma ëd doi element d' F a l'é ancor n'element d' F e ël prodot ëd në scalar con un vetor d'F a aparten ancor a F. An d'àutri termo, as ciama che F a sia stàbil për combinassion linear.

Na combinassion linear a l'é na soma finìa ëd vetor, mincadun multiplicà për un coefissient (scalar). As trata d'un cas particolar ëd soma ëd na famija finìa d'element d'un grop abelian. La combinassion linear ëd na famija ëd vetor $(x_{i})_{\,i\,\in \,I}$ ch'a l'ha për coefissients $(\lambda _{i})_{\,i\,\in \,I}$ a l'é ël vetor d' $E$ smonù da l'espression:

\sum _{\,i\,\in \,I}\lambda _{i}\,x_{i}

.

Cand l'ansem dj'ìndes I a l'é infinì, a venta gionté l'ipòtesi che ël supòrt ëd la famija $(\lambda _{i})_{\,i\,\in \,I}$ a sia finì.

Esempi

La class djë spassi vetoriaj a l'é nen n'ansem. La class djë spassi vetoriaj ansima a un camp fissà, identificà a men d'isomorfism, a l'é nen n'ansem. La lista d'esempi sì da press a l'é pà esaustiva. Jë spassi vetoriaj sità a l'han sò anteresse për le struture aditive dont costi a son dotà ëd fasson natural.

Lë spassi nul a l'é lë spassi vetorial ansima a un camp K ch'a l'ha 'n sol element, che a l'é për fòrsa ël vetor nul. Lë spassi nul a l'é l'oget inissial e l'oget final ëd la categorìa djë spassi vetoriaj ansima a K.
Ël camp K a l'é chiel-midem në spassi vetorial: l'adission e la multiplicassion a son, rispetivaman, l'operassion anterna e l'operassion esterna. Pì an general, minca imersion ëd K ant un camp L (visadì, cand L a l'é n'estension ëd K), a forniss a L na strutura dë spassi vetorial ansima a K (as trata 'd n'estension ëd camp).
Për minca ansem I, ël prodot infini $\mathbb {K} ^{I}$ $\mathbb {K} ^{I}$ a l'é un K-spassi vetorial dotà dla laj d'adission termo a termo e ëd multiplicassion esterna ansima a minca termo:
- $+\;:\;(x_{i})+(y_{i})=(x_{i}+y_{i})$
- $\cdot \;:\;\lambda \cdot (x_{i})=(\lambda x_{i})$
An particolar, ël vetor nul a l'é la famija dont tute le component a son nule. Costi spassi a servo ëd modèj për jë spassi vetoriaj.
Pì an general, ël prodot infinì ëd na famija dë spassi vetoriaj ansima a K a l'é në spassi vetorial ansima a K. Ës prodot a l'é ël prodot djë spassi vetoriaj ant ël sens dle categorìe.
Për na famija ( $E_{i}$ ) dë spassi vetoriaj, l'ansem dle sequense a supòrt finì $(v_{i})\in \prod E_{i}$ a forma un sot-ëspassi vetorial dël prodot dj'E_i, ciamà la soma djë spassi E_i.
L'ansem ${\mathcal {M}}_{n,p}(\mathbb {K} )$ ${\mathcal {M}}_{n,p}(\mathbb {K} )$ dle matris a n linie e p colòne a l'é në spassi vetorial. J'operassion "+" e "•" a son definìe parèj:
se $A=(a_{ij})_{i\in [\![1,n]\!],j\in [\![1,p]\!]}$ e $\ B=(b_{ij})_{i\in [\![1,n]\!],j\in [\![1,p]\!]}$ :
- $+\;:\;(A,B)\in {\mathcal {M}}_{n,p}(\mathbb {K} )\times {\mathcal {M}}_{n,p}(\mathbb {K} )\mapsto A+B=(a_{ij}+b_{ij})$
- $\cdot \;:\;(\lambda ,B)\in \mathbb {K} \times {\mathcal {M}}_{n,p}(\mathbb {K} )\mapsto \lambda \,B=(\lambda \,b_{ij})$
- element nèutr për l'adission: la matris nula, cola dont tuti ij coefissient a son nuj
L'ansem dle solussion ëd n'equassion diferensial linear a l'é në spassi vetorial.
L'ansem dle forme n-linear alternà ansima a në spassi vetorial ëd dimension n a l'é në spassi vetorial ëd dimension 1. Sossì a l'é n'arzultà a fondament ëd la teorìa dij determinant.

Dimension

Famije lìbere, famije generatris, base

Na famija ${\mathcal {L}}$ d'element d'E as dis lìbera (o linearman indipendenta) ansima a $\mathbb {K}$ cand minca combinassion linear d'element d' ${\mathcal {L}}$ a coefissient nen tuti zero a l'é nen nula, visadì cand l'ùnica combinassion linear nula d'element d' ${\mathcal {L}}$ a l'é cola dont tuti ij coefissient a son nuj; as dis ëdcò, ant ës cas-sì, che ij vetor ëd la famija a son linearman indipendent. Dësnò as dis che la famija a l'é linearman dipendenta.

Për esempi, na famija d'un vetor sol nen nul a l'é tavòta lìbera. D'àutra part, na famija qualsëssia ch'a l'abia ël vetor nul a l'é dipendenta.

As peul mostresse che na famija $\ (u_{1},\,u_{2})$ ëd doi vetor d'E a l'é dipendenta si e mach si a esist në scalar $\ \alpha$ tal che $\ u_{2}=\alpha \,u_{1}$ o në scalar $\ \beta$ tal che $\ u_{1}=\beta \,u_{2}$ . As dis ant ës cas-sì che ij doi vetor a son paralej. D'àutra part, gnente a garantiss che na famija dipendenta con almanch tre vetor a conten-a për fòrsa doi vetor paralej.

Na famija d'element d' E as dis generatris (d' E) cand minca element d'E a peul esprimse 'me na combinassion linear dj'element ëd costa famija.

As dis base dlë spassi vetorial E minca famija d'element d'E lìbera e generatris.

As peul mostresse che na famija ${\mathcal {B}}$ d'element d' E a l'é na base si e mach si minca element u d'E as esprim ëd fasson ùnica tanme combinassion linear dj'element ëd ${\mathcal {B}}$ .

As dimostra an dovrand l'assiòma ëd selession che minca spassi vetorial a l'ha almanch na base.

Dimension finìa

Si në spassi vetorial E a admët na base con un nùmer finì d d'element, antlora minca base ëd E a l'ha 's midem cardinal d.

L'antregh d a l'é ciamà la dimension d'E, denotà $\dim _{\mathbb {K} }E$ , o s'a-i é nen confusion, mach $\dim E$ . As dis antlora che E a l'é në spassi vetorial ëd dimension finìa (ansima a $\mathbb {K}$ ), ugual a d.

As dis che në spassi vetorial ridot mach a $\ \{0\}$ a l'é ëd dimension finìa, ugual a 0, përchè l'ansem veuid a n'é na base.

As dis reta vetorial minca spassi vetorial ëd dimension finìa ugual a 1 e pian vetorial minca spassi vetorial ëd dimension finìa ugual a 2.

Jë spassi vetoriaj ch'a son nen ëd dimension finìa a son dit ëd dimension infinìa. Për che në spassi vetorial E a l'abia dimension infinìa, a venta e a-i basta ch'a esista na famija lìbera infinìa d'element d'E:

Në spassi vetorial E a l'é ëd dimension finìa si e mach si a admët na famija generatris con un nùmer fini d'element.

Ch'as consìdera në spassi vetorial E ëd dimension finìa (nen nula) ugual a n. Antlora:

Minca famija generatris d' E a l'ha almanch n element; si na famija generatris d' E a l'ha n element, antlora a l'é na base d'E (as dis che le base a son le famije generatris minimaj).
Minca famija lìbera d' E a l'ha al pì n element; si na famija lìbera d'E a l'ha n element, antlora a l'é na base ëd E (as dis che le base a son le famije lìbere massimaj).

Ch'a sia E në spassi vetorial ëd dimension finìa n>1, e $\ (u_{1},\dots ,u_{p})$ na famija lìbera ëd vetor d'E, con $\ p<n$ (an d'àutre paròle, na famija lìbera che a l'é nen na base: costa a l'é nen massimal).

Antlora, a esisto $\ n-p$ vetor d'E, ch'as a peulo denotesse $\ (u_{p+1},\dots ,u_{n})$ , taj che la famija $\ (u_{1},\dots ,u_{n})$ a l'é na base ëd E.