Função analítica

Em matemática, uma função analítica é uma função que pode ser localmente expandida em séries de Taylor. Grosseiramente falando, funções analíticas são uma família mais ampla que a das funções polinomiais mas que ainda preserva certas propriedades destes. Classicamente falando, existem funções analíticas reais e funções analíticas complexas. O desenvolvimento da análise funcional ao longo do século XX levou ao surgimento de teorias de funções analíticas que assumem valores em um espaço de Banach complexo arbitrário.

Definição para funções reais

Seja $D$ um conjunto aberto na reta e $f:D\to \mathbb {R}$ uma função infinitamente derivável (ou seja, uma função suave (de classe $C^{\infty }$)). Diz-se que $f$ é analítica se para cada ponto $x_{0}$ ∈ $D$, existir uma vizinhança $V_{x_{0}}\subseteq D$ de $x_{0}$ tal que

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

Definição para funções complexas

Ver artigo principal: Função holomorfa

Seja $D$ um conjunto aberto no plano complexo e $f:D\to \mathbb {C}$ uma função infinitamente diferenciável. $f$ é dita analítica se para cada ponto $x_{0}\in D$, se existir uma vizinhança $V_{x_{0}}\subseteq D$ de $x_{0}$ tal que

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

Diferenças entre funções analíticas reais e complexas

Existem algumas diferenças entre funções analíticas complexas e funções analíticas reais. Considere por exemplo a função: $f(x)=\sin(x)$ esta função é analítica em toda a reta como função real e analítica em todo o plano como função complexa. Observe no entanto que esta função é limitada na reta mas não o é no plano complexo. De fato, o teorema de Liouville garante que as únicas funções analíticas em todo o plano e limitadas são constantes.

Contra-exemplos

Ver artigo principal: exp(-1/x)

É possível construir funções reais infinitamente diferenciáveis mas que não são analíticas.

Vários contra-exemplos são construídos a partir de funções do tipo $f(x)=\exp(-1/x)$ para $x>0$. Pode-se provar que esta função (analítica) tem a notável propriedade que

$\lim _{x\to 0}f^{(n)}(x)=0$

Então, a função de domínio real $g(x)=f(x){\mbox{ se }}x>0,g(x)=0{\mbox{ se }}x\leq 0$ é infinitamente diferenciável, mas não é analítica.